大题专练训练26：圆锥曲线（抛物线：定值定点问题）-2021届高三数学二轮复习

3.0 envi 2025-04-15 4 4 1.6MB 11 页 3知币

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二轮大题专练 26—圆锥曲线（抛物线：定值定点问题）

1．已知点，，抛物线，过点的动直线交抛物线于，

两点，直线交抛物线于另一点，为坐标原点．

（1）求；

（2）证明：直线恒过定点．

解：（1）设点，，，，由题意，设直线，

由得，

△ ，，又，

．

（2）证明：设，，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的

斜率为，

，，三点共线，，，即，

，即，

，，，

即，

，

直线的方程是，即，

，

由式可知，代入上式，得，

令，解得，直线恒过定点．

2．已知直线与抛物线相交于，两点，满足．定点，

，是抛物线上一动点，设直线，与抛物线的另一个交点分别是，．

（1）求抛物线的方程；

（2）求证：当点在抛物线上变动时（只要点、存在且不重合），直线恒过一

个定点；并求出这个定点的坐标．

解：（1）设，，，，

联立，整理可得：，

所以可得，，

进而可得，

由，可得：，

即，可得，

所以抛物线的方程为：；

（2）证明：设，，，，，，

由，，三点共线可得，，即，

整理可得：，

所以，

同理可得，，三点共线，，

所以直线的方程：，

整理可得：，

将，的值代入直线方程可得：，

所以解得：，所以直线过定点．

3．已知曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离小 1．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，以线段为直径的圆过

点，求证：直线过定点．

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