大题专练训练25：圆锥曲线（抛物线：最值范围问题2）-2021届高三数学二轮复习

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二轮大题专练 25—圆锥曲线（抛物线：最值范围问题）
1．如图，已知点 ， ， 是抛物线 上的三个不同的点，且 是以点 为直
角顶点的等腰直角三角形．
（Ⅰ）若直线 的斜率为 1，求顶点 的坐标；
（Ⅱ）求三角形 的面积的最小值．
解：（1） 直线 的斜率为 1，
直线 的倾斜角为 ，即 ，
又 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，
，
直线 与 轴平行，
由抛物线的对称性知，点 为原点，
．
（2）由对称性知，不妨设点 在 轴的右侧（包括 轴），且 ， ， ， ，
，
则 ，
1
设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
， ，
，
同理可得， ，
，
，
化简可得， ，
的面积
，
当且仅当 时，等号成立，
故三角形 的面积的最小值为 1．
2
2．已知抛物线 ， 为抛物线上的一点， 为其焦点，且 ．
（1）求抛物线的方程；
（2）直线 过焦点 ，若直线 、 分别交直线 于 、 两点，求
的最小值．
解：（1）由抛物线 的准线方程为 ，焦点为 ，
且 ，解得 ，
故抛物线的方程为 ；
（2）由 ，设 ， ， ， ，直线 的方程为 ，
由 消去 ，整理得 ，
所以 ， ，从而有 ，
由 解得点 的横坐标为 ，
同理可得点 的横坐标为 ，
3
大题专练训练25：圆锥曲线（抛物线：最值范围问题2）-2021届高三数学二轮复习.doc

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