大题专练训练24：圆锥曲线（抛物线：最值范围问题1）-2021届高三数学二轮复习

3.0 envi 2025-04-15 18 4 853KB 12 页 3知币
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二轮大题专练 24—圆锥曲线（抛物线：最值范围问题）
1．已知抛物线 的焦点为 ．
（1）求 上纵坐标为 4的点 到焦点 的距离；
（2）若斜率为 2的直线 与 交于 、 两点，且 达到最小值，求直线 的方程；
（3）设 是 的一条弦且 ，求线段 中点横坐标的最小值．
解：（1）抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
可得 ，点 到焦点 的距离为 ；
（2）设直线 的方程为 ，与抛物线方程 联立，
可得 ，
由△ ，可得 ，
设 ， ， ， ，可得 ， ，
，
则 ，
1
当 时， 达到最小值，
所以直线 的方程为 ；
（3）设直线 的方程为 ，
与抛物线方程 联立，可得 ，
设 ， 的纵坐标分别为 ， ，可得 ， ，
且△ ，即 ，
由 ，
可得 ，
则 ，
可得线段 中点横坐标
，
当 时， ，
当且仅当 ，取得等号；
当 时，令 ，
由 在 递增，可得 的最小值为 ．
综上可得， 时，所求最小值为 ；
2
时，所求最小值为 ．
2．如图，已知点 ， ， 是抛物线 上的三个不同的点，且 是以点 为直
角顶点的等腰直角三角形．
（Ⅰ）若直线 的斜率为 1，求顶点 的坐标；
（Ⅱ）求三角形 的面积的最小值．
解：（1） 直线 的斜率为 1，
直线 的倾斜角为 ，即 ，
又 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，
，
直线 与 轴平行，
由抛物线的对称性知，点 为原点，
．
（2）由对称性知，不妨设点 在 轴的右侧（包括 轴），且 ， ， ， ，
，
则 ，
3
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