大题专练训练23：圆锥曲线（椭圆：定值定点问题3）-2021届高三数学二轮复习

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二轮大题专练 23—圆锥曲线（椭圆：定值定点问题 3）
1．已知椭圆 经过点
(2, 2)P
，且与椭圆
2 2
1
20 16
x y
 
有相同的焦点．
（Ⅰ）求椭圆
C
的标准方程；
（Ⅱ）若直线
l
与椭圆
C
相交于
A
，
B
两个不同点，
O
为坐标原点，设直线
OA
，
OB
斜率
分别为
1
k
，
，且
1 2
1
2
 k k
，试问：
AOB
的面积是否为定值？如果是，请给予证明；
如果不是，请说明理由．
解：（Ⅰ）依题意可得：椭圆
C
的焦点为
1
( 2,0)F
，
2
(2,0)F
，则
1 2
| | | | 2PF PF a 
，
所以
2 2 2 2
2 (2 2) ( 2 0) (2 2) ( 2 0) 4 2a    
，解得
2 2a
．
所以
2 2
2b a c  
．
故所求椭圆
C
的方程为
2 2
1
8 4
x y
 
．
（Ⅱ）
AOB
的面积为定值
2 2
．
由题意，可设
1
(A x
，
1)y
，
2
(B x
，
2
)y
，
因为
1 2
1
2
 k k
，可得
1 2
1 2
1
2
y y
x x
 
，即
1 2 1 2
2 0x x y y 
．
①当直线
l
的斜率不存在时，可得
1 2
x x
，
1 2
y y 
，则
2 2
1 1
2 0x y 
，
由
1
(A x
，
1)y
在圆
C
上可知，
2 2
1 1
2 8x y 
，
联立
2 2
1 1
2 0x y 
，可求得
1
| | 2x
，
1
| | 2y
．
此时，
1 1 2 1 1
1| || | | || | 2 2
2
AOB
S x y y x y
 
．
③当直线
l
的斜率存在时，设直线
l
的方程为
( 0)y x m m  k
，
由
2 2
1
8 4
x y
y x m
 
 
k
，可得
2 2 2
(2 1) 4 2 8 0x m m  k k
．△
2 2
8(8 4 ) 0m   k
，
1
所以
1 2 2
4
2 1
m
x x
 
k
k
，
2
1 2 2
2 8
2 1
m
x x
k
．
又因为原点
O
到直线
:l y x m k
的距离为
2
| |
1
m
dk
，且
2
1 2
| | 1 | |AB x x  k
．
所以
2
1 2 1 2 1 2
1 | | | |
| | | | ( ) 4
2 2 2
AOB
m m
S d AB x x x x x x
 
①，
把
1 2 2
2
1 2 2
4
2 1
2 8
2 1
m
x x
m
x x
 
 
k
k
k
代入①式可得：
2 2
2
2 | | 8 4
1 2
AOB
m
S m
 
k
k
．
因为
1 2
1
2
 k k
，所以
1 2 1 2
2 0x x y y 
．
化简得，
2 2
1 2 1 2
(2 1) 2 ( ) 2 0x x m x x m   k k
②
把
1 2 2
2
1 2 2
4
2 1
2 8
2 1
m
x x
m
x x
 
 
k
k
k
，代入②式有：
2 2
4 2m k
，所以
2
2
22 2
1 2
AOB
m
S 
k
，
此时，△
2 2 2
8(8 4 ) 8 0m m   k
满足题意，所以
2 2
AOB
S
．
综上可知，
AOB
的面积是定值且为
2 2
．
2．已知椭圆
2 2
2 2
: 1 ( 0)
x y
C a b
a b
 
的离心率为
3
2
，且经过点
(2, 0)A
．
（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；
（Ⅱ）不过点
A
的直线
l
与椭圆交于
P
，
Q
两点，以线段
PQ
为直径的圆经过点
A
，证明
直线
l
过定点．
（Ⅰ）解：由椭圆离心率为
3
2
，且经过点
(2,0)A
，
可知
3, 2
2
c
e a
a
 
．
2
所以
3c
．
所以
2 2 2
4 3 1b a c  
．
3
所以椭圆
C
的方程为
2
21
4
xy 
．
4
（Ⅱ）证明：当直线
l
的斜率存在时，设直线
l
的方程为
y x m k
，
2
由
2
2
1,
4
xy
y x m
 
 
k
得
2 2 2
(1 4 ) 8 4 4 0x mx m  k k
．
6
△
2 2 2
(8 ) 4(1 4 )(4 4) 0m m  k k
．
设
1
(P x
，
1)y
，
2
(Q x
，
2
)y
，则
2
1 2 1 2
2 2
8 4 4
,
1 4 1 4
m m
x x x x
 
 
k
k k
．
8
因为以线段
PQ
为直径的圆经过点
A
，
所以
AP AQ
．所以
0AP AQ 
              
．
9
1 1 2 2
( 2, ) ( 2, )AP x y AQ x y 
              
，
1 2 1 2
( 2)( 2)AP AQ x x y y  
              
1 2 1 2
( 2)( 2) ( )( )x x x m x m   k k
2
2 2
2 2
4 4 8
(1 ) ( 2) 4
1 4 1 4
m m
m m
 
 
 
k
k k
k k
，
由
0AP AQ 
 
，整理得
2 2
5 16 12 0m m  k k
．
解得
6
5
m  k
或
2m  k
（都满足△
0)
．
所以
6
( )
5
y x k
或
( 2)y x k
．
10
因为直线
l
不过点
(2,0)A
，
所以直线
l
过定点
6
( ,0)
5
．
11
当直线
l
的斜率不存在时，设直线
l
的方程为
0 0
( 2 2)x x x  
，
则
0
(P x
，
0
)y
，
0
(Q x
，
0
)y
，
2
20
0
14
x
y 
．
2
2 2 0
0 0 0 0 0
( 2)( 2) 4 4 (1 ) 0
4
x
AP AQ x x y x x  
              
，
解得
0
6
5
x
或
0
2x
（舍
)
．
3
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