大题专练训练22：圆锥曲线（椭圆：定值定点问题2）-2021届高三数学二轮复习

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二轮大题专练 22—圆锥曲线（椭圆：定值定点问题 2）
1．已知椭圆 的离心率为
3
2
，右焦点到左顶点的距离是
2 3
．
（1）求椭圆
C
的方程；
（2）设点
M
为椭圆上位于第一象限内一动点，
A
，
B
分别为椭圆的左顶点和下顶点，直
线
MB
与
x
轴交于点
C
，直线
MA
与
y
轴交于点
，求证：四边形
ABCD
的面积为定值．
解：（1）由已知可得
2 2 2
3
2
2 3
c
a
a c
a b c
 
 
，
解得
2a
，
1b
，
所以椭圆
C
的方程为
2
21
4
xy 
．
（2）因为椭圆
C
的方程为
2
21
4
xy 
，
所以
( 2,0)A
，
(0, 1)B
，
设
(M m
，
)( 0n m
，
0)n
，
则
2
2
1
4
mn 
，即
2 2
4 4m n 
，
则直线
BM
的方程为
11
n
y x
m
 
，
令
0y
，得
1
C
m
xn
，
同理可得直线
AM
的方程为
( 2)
2
n
y x
m
 
，
1
令
0x
，得
2
2
D
n
ym
，
所以
2
1 1 2 1 ( 2 2)
| || | | 2 || 1|
2 2 1 2 2 ( 2)( 1)
ABCD
m n m n
S AC BD n m m n
 
 
 
2 2
1 4 4 4 4 8 1 4 4 8 8 2
2 8 2 2 2 2 2
m n mn m n mn m n
mn m n mn m n
   
   
   
，
所以四边形
ABCD
的面积为定值 2．
2．如图，点
(1,0)F
为椭圆
2 2
2 2
: 1( 0)
x y
E a b
a b
 
的右焦点，过
F
且垂直于
x
轴的直线与
椭圆
E
相交于
C
、
两点
(C
在
的上方），
| | 3CD
．
（1）求椭圆
E
的方程；
（2）设点
A
、
B
是椭圆
E
上位于直线
CD
两侧的动点，且满足
ACD BCD  
，试问直线
AB
的斜率是否为定值，请说明理由．
解：（1）根据题意可得
2
2 2 2
3
2
1
b
a
c
a b c
 
，
解得
2
4a
，
2
3b
，
所以椭圆
E
的方程为
2 2
1
4 3
x y
 
．
（2）依据题意知直线
AB
的斜率存在，设
AB
直线的方程为
y x m k
，
2
1
(A x
，
1)y
，
2
(B x
，
2
)y
，
代入椭圆的方程
2 2
1
4 3
x y
 
得：
2 2 2
(4 3) 8 4 12 0(*)x mx m  k k
，
所以
1 2 2
8
4 3
m
x x  
k
k
，
2
1 2 2
4 12
4 3
m
x x
k
，
由
ACD BCD  
，得
0
AC BC
 k k
，
因为
3
(1, )
2
C
，
所以
1 2 1 2
1 2 1 2
3 3 3 3
2 2 2 2 0
1 1 1 1
y y x m x m
x x x x
   
 
 
k k
，
所以
1 2 1 2
3
2 ( )( ) 2 3 0
2
x x m x x m  k k
，
所以
2
2 2
4 12 3 8
2 ( )( ) 2 3 0
4 3 2 4 3
m m
m m
 
 
k
k k
k k
，
整理得
(6 3)(2 2 3) 0m  k k
，
所以
2 2 3 0m  k
或
6 3 0 k
，
当
2 2 3 0m  k
时，直线
AB
过定点
3
(1, )
2
C
，不合题意，
所以
6 3 0 k
，
1
2
k
，
所以直线
AB
的斜率是定值
1
2
．
3．在圆
2 2
: ( 1) 8A x y  
内有一点
(1,0)B
，动点
M
为圆
A
上任意一点，线段
BM
的垂直
平分线与半径
AM
相交于点
N
，设点
N
的轨迹为
C
．
（1）求轨迹
C
的方程；
3
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