大题专练训练21：圆锥曲线（椭圆：定值定点问题1）-2021届高三数学二轮复习
二轮大题专练 21—圆锥曲线（椭圆：定值定点问题 1）
1．已知椭圆 短轴长为 2， 是 的左焦点， ， 是 上关于
轴对称的两点， 周长的最大值为 8．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）斜率为 且不经过原点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，若直线 ， 的
斜率分别为 ， ，且 ，求直线 的斜率，并判断 的值是否为定
值？若为定值，试求出此定值；否则，说明理由．
解：（1）设 与 轴的交点为 ，右交点为 ．
由题意 ，则 ，
当 过右焦点 时， 周长取最大值 ， ，
且 ，
椭圆 的标准方程为 ．
（2）设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
由 ，得 ，
， ，
由题知 ，
1
， ，
（舍去）或 ，
此时 ， ，
则
故直线 的斜率为 ， ．
2．已知椭圆 的一个焦点为 ，且该椭圆经过点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作直线 与椭圆 交于不同的两点 、 ，试问在 轴上是否存在定点 使得
直线 与直线 恰关于 轴对称？若存在，求出点 的坐标：若不存在，说明理由．
解：（1）由题意可得 ①，
由点 在椭圆上可得 ②，
联立①②解得 ， ，
所以椭圆的方程为 ．
（2）当直线 为非 轴时，可设直线 的方程为 ，
与椭圆 的方程联立，得 ，
△ ，
2
设 ， ， ， 定点 ， ， ，
则 ， ，
直线 与直线 关于 轴对称，等价于直线 ， 的斜率互为相反数，
所以 ，即 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
从而可得 ，即 ，
所以当 ，即 ， 时，直线 与直线 关于 轴对称，
当直线 为 轴时， ， 也符合题意，
综上，存在 轴上的定点 ， ，使得直线 与直线 关于 轴对称．
3．已知圆 ，点 ， 是圆 上一动点，若线段 的垂直平
分线和 相交于点 ，点 的轨迹为曲线 ．动直线 交曲线 于 ， 两点，且始终
满足 ， 为坐标原点，作 交 于点 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）证明： 为定值．
3
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