大题专练训练20：圆锥曲线（椭圆：最值范围问题2）-2021届高三数学二轮复习
二轮大题专练 20—圆锥曲线（椭圆：最值范围问题 2）
1．已知椭圆 的一个焦点为 ，且椭圆 过点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作两条互 相 垂 直的弦 ， ，设 ， 的中点分 别 为 ， ，求
面积的最大值．
解：（1）由题意可得 ，
解得： ， ，故椭圆 的方程 ．（3分）
（2）由题意可得直线 ， 斜率均存在，
设 的斜率为 ， 斜率为 ，设 ， ， ， ，
直 线 的 方 程 为 ， 由 得 ： ， 则
，
可得点 的横坐标为 ，代入 ，得点 的纵坐标为 ，
故点 坐标为 ，（6分）
则 ，
1
将 换为 ，得 ，（8分）
故 面积 ，（10 分）
令 ， ，故 ， ，
当 时， ，故 在 ， 单调递减，故 ， ，
所以 面积的最大值 ．（12 分）
2．已知椭圆 的焦距与短轴长相等，点 在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若 ， 为椭圆上两点， 是以 为斜边的直角三角形 为坐标原点），求
的最大值．
解：（1）由题意，可知 ，即 ，
所以 ，
把点 的坐标代入椭圆方程得 ，所以 ， ，
所以椭圆方程为 ．
（2）当直线 斜率不存在时，根据椭圆的对称性可知 ，
不妨设点 在第一象限，则直线 的方程为 ．与椭圆联立，得 ，
2
所以 ，从而 ，
当直线 斜率存在时，可设直线方程为 ，
与椭圆联立，得 ，
设 ， ， ， ，则 ，
是以 为斜边的直角三角形，
，即 ，
，
所以 ，即 ，
，
，
（当且仅当 时取等号），
，
综上， 的最大值为 3．
3
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