大题专练训练19：圆锥曲线（椭圆：最值范围问题1）-2021届高三数学二轮复习
二轮大题专练 19—圆锥曲线（椭圆：最值范围问题 1）
1．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，且经过
点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 ， ， ， 是椭圆 上互异的四点（点 在第一象限），其中 ， 关于原
点对称， ， 关于 轴对称，且 ，求四边形 面积的最大值．
解：（1）由已知条件可得 ，
解得 ， ， ，所以椭圆的方程为 ．
（2）设 ， ， ，则点 ， ， ， ， ， ，
直线 的斜率为 ，
因为 ，则直线 的方程为 ，
1
联立 ，得 ，
由韦达定理可得 ，
因为 ，
所 以 四 边 形 的 面 积 为
，
所以
令 ，
，
则 ，
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以 ，
所以 ，
2
所以四边形 的面积的最大值为 ．
2．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，离心率为 ， 为
上一点，△ 面积的最大值为 ．
（1）求 的标准方程；
（2）已知点 ， 为坐标原点，不与 轴垂直的直线 与 交于 ， 两点，且
．试问：△ 的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存
在，说明理由．
解：（1）设椭圆 的半焦距为 ，
由题，△ 面积最大值为 ，则 ，解得
所以椭圆方程为 ．
（2）设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
将 代入 ，得 ，△ ，
由△ 得 ， ， ，
由 ，得 ，即 ， ，
整理得 ，
3
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