2021届山东省潍坊市4月高考模拟考试（二模）数学试题（答案）
书书
高三数学答案第 !"""" 页!共#页"
高三数学参考答案及评分标准
!$!%&#
一!单项选择题"每小题 '分#共#$ 分$
% (#")*++""' (,")-*+
二!多项选择题"每小题 '分#选对但不全的得 !分#共!$ 分$
./-+"%$/)+"%%/-*+"%!/)-+
三!填空题"每小题 '分#共!$ 分$
%0!%'""%#!%#,#%$#1# 任选其一""%'!
2
!""%1!$%#'%
四!解答题"本大题共 1小题#共2$ 分$
%2!
解析&!%"由已知得#'锻炼时间达标(的频率为&!$!$% 3$!$$'"4%$ 5$!%'#
所以'锻炼时间达标(学生共有 !$$$ 4$&%' 50$$ 人!0分
!!!!!!!!!!!
!!"由所给数据#可得 ! 4! 列联表为&
""
是否达标
性别 锻炼时间达标 锻炼时间未达标 合计
男%$ '$ 1$
女' 0' #$
合计 %' ,' %$$
1分
!!!!
将! 4! 列联表中的数据代入公式计算#得&
"
!5
%$$ 4!%$ 40' (' 4'$"!
%' 4,' 41$ 4#$ 5'$
%'0!$&0!2 6!&2$1 . 分
!!!!!!!!!!!!
所以没有 .$#的把握认为'煅炼时间达标(与性别有关!%$ 分
!!!!!!!!!!
%,!
解&过点 $作$%
"&'#垂足为 %#则$%5#)7891$(槡
5! 0#
当$) 槡
5 '时#$)6$%#所以方案!对应#$&)无解#!分
!!!!!!!!!!!!
当$) 槡
5 %'时#$%6$)6$&6$'#所以方案"对应#$&)有两解##分
!!!!!
当$) 槡
5! 2时#$&6$)6$'#所以方案#对应#$&)只有一解!1分
!!!!!!!
由方案#知$) 槡
5! 2#设&)5*#
所以在#$&)中由余弦定理得&! 槡
! 2"!5#!3*
!(! 4# 4*4:;71$(#.分
!!!!!
即*
!(#*(%! 5$#
解得 *51 或*5(!!舍"
又因为在#$&'中易得 &'5,#&)51 6&'#符合题意!
所以 &)的长为 1!%! 分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
%.!
解&!%"因为四边形 $&')为矩形#所以 $)
"')#
又因为 +)
"平面 $&')#所以 +)
"')#
所以 ')
"平面 +$)#!分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
又+$
$平面 +$)#
所以 +$
"')#又因为 ',
"+$#
所以 +$
"平面 ',)#又),
$平面 ',)#
所以 +$
"),! #分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!"因为 +)
"平面 $&')#
所以%+$)为+$与平面 $&')所成角#即%+$)50$(#
又因为 +)5%#所以 $) 槡
5 0#1分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
分别以直线 )$#)'#)+为*轴#-轴#.轴建立如图所
示空间直角坐标系#
因为 $) 槡
5 0#+)5')5%#
因为 &
''
+/5&
''
)$#所以 +/ 槡
5 0#
令+05
!
!$(!(槡
0"#则)!$#$#$"#$!槡
0#$#$"#
'!$#%#$"#0!!
#$#%"# 2分
!!!!!!!!!!!
所以 &
''
$'5!槡
( 0#%#$"# &
''
'05!!
#(%#%" #
设!
%5!*#-#."为平面 $'0的一个法向量#
由
!
%)&
''
$'5$
!
%)&
''
'0
{
5$得槡
( 0*3-5$
!
*(-3.
{
5$ #取*5%#
则!
%5!%#槡
0#槡
0 (
!
"!.分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
因为 !
!5!%#$#$"是平面 +)'的一个法向量!%$ 分
!!!!!!!!!!!!!!
所以 :;76!
%#!
!<5
!
%)!
!
=!
%==!
!=
5%
% 30 3!槡
0 (
!
"
槡!
5%
!!槡
( 0"!
槡3#
#
因为 $(!(槡
0#所以当 !槡
5 0时#:;76!
%#!
!<有最大值 %
!"
所以所求二面角的余弦值的最大值为 %
!"%! 分
!!!!!!!!!!!!!!!!
!$!
解&!%"因为 1!*"5
2*
!33*34
>
*#
所以 15!*"5
!!2*33">
*(!2*
!33*34">
*
!>
*
"!5(2*
!3!!2(3"*33(4
>
*%分
!!!!
因为 >
*<$#
所以 15!*")$的解集与 (2*
!3!!2(3"*33(4
)$解集相同#
同为 *
*$$#%%!
所以有
2<$
!2(3
25%
3(4
(
2
5$
解得 25354#0分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
所以 1!*"5
2!*
!3*3%"
>
*#15!*"5(2*
!32*
>
*!2<$"
因为 2<$#所以当 *6$ 或*<% 时#15!*"6$#函数 1!*"单调递减#
当$(*
(%时#15!*")$#函数 1!*"单调递增#
且15!%"5$#所以在 *5% 处1!*"取得极大值为 0
>
#
即1!%"5
02
>50
>
#所以 25%#即253545%#1分
!!!!!!!!!!!!!!!
所以 1!*"5
*
!3*3%
>
*#15!*"5(*
!3*
>
*!
所以 1!(%"5%
>
(% 5>#15!(%"5(!
>
(% 5(!>!
高三数学答案第 %页!共#页"
高三数学答案第 #"""" 页!共#页"
所以函数在点!(%#1!(%"" 处切线方程为&-(>5(!>!*3%"即-5(!>*(>!
,分
!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!"由!%"知函数 1!*"在!(
?#$"上单调递减#在!$#%"上单调递增#且1!$"5%
>
$5%#
所以满足 1!*
$"5%!*
$+$"的*
$存在于区间!%#3
?"!
所以当 $ 666*
$时#由函数的单调性易知#1!*"的最小值为 1!$"5%!%$ 分
!! ! !
当6
)*
$时#1!6"(1!*
$"51!$"5%#
所以此时 1!*"的最小值为 1!6"5
6
!363%
>
6#
综上所述&1!*"在区间!(
?#6%上的最小值为
%#"" $ 66
(*
$
6
!363%
>
6#6<*
{
$
!%! 分
!!!!!
!%!
解&设圆的圆心为!2#3"
由圆与抛物线准线 7相切#得8
!3250
!#
又因为圆过抛物线的焦点 9#故258
##!分
!!!!!!!!!!!!!!!!!
所以 8
!38
#50
!#解得 85!#
即'的方程为 -
!5#*! #分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!"由题意知 9!%#$"#设$!*
%#-
%"#&!*
!#-
!"#,!*
$#-
$"#
由题意知#直线 $&的斜率一定存在且不为 $#
设直线 $&&-5:!*(%"#与抛物线 '&-
!5#*联立得&
:-
!(#-(#:5$
从而 "
5%1 3%1:
!<$#-
%3-
!5#
:
#-
%)-
!5(##1分
!!!!!!!!!!!!!
因为 ,为线段 $&的中点#
所以 -
$5
-
%3-
!
!5!
:
#*
$5
*
%3*
!
!5
-
%
!3-
!
!
,5
!-
%3-
!"!(!-
%-
!
,5!
:
!3%#
即,!!
:
!3%#!
:
"# 2分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
直线 $;的方程为 -5#
-
%
*#可求 +点的横坐标 *
+5
-
%
!:
*
同理 0点的横坐标 *
05
-
!
!:
#
因为 =+0=5%
0=,/=#
即=*
+(*
0=5%
0!*
$(*
/
"#
即-
%
!:
(
-
!
!:5%
0!*
$(*
/
"#
即!-
%3-
!"!(#-
%-
槡!
!:5
%1
:
!
槡3%1
!:5!
0!%
:
!3%"# %$ 分
!!!!!!!!!!!!!
解得&:槡
5@! !#
故直线 $&的方程为&槡
! !*(-槡
(! ! 5$ 或槡
! !*3-槡
(! ! 5$!%! 分
!!!!!!!
!!!
解&!%"*5! 时#2<5! <#
若存在三项 !=
#!>
#!?成等差数列!=6>6?#=#>#?
*!
3"#
则有&!)!>5!=3!?
#!分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
两边除以 !=得&!)!>(=5% 3!?(=
#
由>(=
*!
3#?(=
*!
3#
故上式左边为偶数#右边为奇数#矛盾!
所以#不存在三项使其成等差数列!#分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!"1
<!*"5(% 3*3
*
!
!!3
*
0
0!3+3
*
<
<!#
1
<5!*"5% 3*
!3
*
!
03+3
*
<(%
<#
当*
*!$#3
?"时#15
<!*"<$#1
<!*"单调递增#'分
!!!!!!!!!!!!!!
由于 1
%!%"5$#当*
)!时#1
<!%"5%
!!3%
0!3+3%
<!<$#
1
<!!
0"5(% 3!
03$
!!
0"!
!!3
!!
0"0
0!3+3
!!
0"<
<!%
((%
03%
#$! !
0"!3!!
0"03+3!!
0"<%
5(%
03%
#4
#
.$% (!!
0"<(% %
% (!
0
5(%
03%
0(%
0!!
0"<(% 6$!
故存在唯一 *
<*$!
0#%%#使1
<!*
<"5$!,分
!!!!!!!!!!!!!!!!!
!0"对,8
*!
3#由!!"中#*
<构成数列,*
<-#
当*<$ 时#1
<3% !*"51
<!*"3*
<3%
!<3%"!<1
<!*" #
故1
<3% !*
<"<1
<!*
<"51
<3% !*
<3% "5$#
由于 1
<3% !*"在!$#3
?"单调递增#
故*
<3% 6*
<即,*
<-为单调递减数列#
因此对任意 8
*!
3#*
<(*
<38<$#%$ 分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
又1
<!*
<"5(% 3*
<3
*
!
<
!!3+3
*
<
<
<!5$
1
<38
!*
<38
"5(% 3*
<383
*
!
<38
!!3+3
*
<
<38
<!3+3*
<38
<38
!<38"!5$
两式相减
*
<(*
<385
*
!
<38(*
!
<
!!3
*
0
<38(*
0
<
0!3+3
*
<
<38(*
<
<
<!3*
<3%
<38
!<3%"!3+3*
<38
<38
!<38"!
6*
<3%
<38
!<3%"!3*
<3!
<38
!<3!"!3+3*
<38
<38
!<38"!6%
!<3%"!3%
!<3!"!3+3!%
!<38"!
6%
<(%
<3% (%
<3! 3+3%
<38
(% (%
<3
8
5%
<(%
<3
8
6%
<#
故,*
<-满足 $ 6*
<(*
<386%
<!%! 分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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