2021届山东省济南市高三（二模）5月针对性训练数学试题参考答案
- 1 -
2021 年高考针对性训练
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
C
D
C
B
A
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
题号
9
10
11
12
答案
AD
AC
ABC
BCD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13．2； 14．甲； 15．
3
； 16．
( 0]−，
．
四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【解析】
（1）①③④
（2）【方法一】
因为
1
cos 2
A=
，所以
60A=
，
又因为
sin sin
ab
AB
=
，且
3a=
，
1b=
，
所以
1
sin 2
B=
，所以
30B=
，所以
90C=
，
所以
22
2c a b= + =
．
【方法二】
因为
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
，且
1
cos 2
A=
，
3a=
，
1b=
，
所以
220cc− − =
，
所以
2c=
．
18．【解析】
（1）设等差数列的首项为
1
a
，公差
d
，
- 2 -
因为
24a=
，
530S=
，
所以
1
1
4
26
ad
ad
+=
+=
，解得
12
2
a
d
=
=
，
所以
2
n
an=
．
（2）
22
2 2 1 1
1 4 1 2 1 2 1
n
n
ba n n n
= = = −
− − − +
，
所以
1 1 1 1 1 1 1
13 3 5 5 7 2 1 2 1
n
Tnn
= − + − + − + + −
−+
12
12 1 2 1
n
nn
= − =
++
．
19．【解析】
（1）证明：由题意可知，
ADE ABE BCE， ，△ △ △
均为全等的等边三角形；
分别过点
CD，
作
CM BE DN AE⊥⊥，
，连接
CD MN，
，
则
MN，
分别为
BE AE，
的中点，所以
CM DN=
．
因为 平面
BCE ⊥
平面
ABE
，平面
BCE
平面
ABE BE=
，
所以
CM ⊥
平面
ABE
；
同理
DN ⊥
平面
ABE
；所以
CM DN
．
所以 四边形
CDNM
为平行四边形，
所以
CD MN
；
又因为
MN，
分别为
BE AE，
的中点，
所以
MN AB
；
所以
AB CD
．
（2）连接
BN
，则
BN AE⊥
，由（1）可知
DN ⊥
平面
ABE
，所以
DN BN⊥
；
以
N
为坐标原点，
NA NB ND， ，
分别为
x y z， ，
轴正方向建立空间直角坐标系，
设
2AB =
，则
13
(0 0 0) (1 0 0) (0 3 0) ( 0)
22
N A B M −， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
；
因为
BN AE⊥
，
DN BN⊥
，
DN AE N=
，
所以
BN ⊥
平面
ADE
，
所以
(0 3 0)NB =， ，
为平面
ADE
的法向量；
x
z
y
M
E
D
C
N
B
A
- 3 -
同理
33
( 0)
22
MA =−， ，
为平面
BCE
的法向量；
设二面角
D l C−−
的平面角为
，由图可知，该角为锐角，
所以
3
| | 1
2
cos 2
| || | 33
NB MA
NB MA
= = =
，
所以 二面角
D l C−−
的大小为
3
.
20．【解析】
（1）证明：因为
23
3( ) 1 26
xx
f x x= + + +
，
所以
2
3( ) 1 0
2
x
f x x
= + +
，
所以
23
3( ) 1 26
xx
f x x= + + +
在
R
上单调递增；
又因为
3
1
( 2) 0
3
f− = −
，
3(0) 1 0f=
；
所以
3()fx
有唯一零点.
（2）因为
( ) ( )
2 3 2 -1 2
2( ) 1 +
2! 3! 2 1 2
nn
n
x x x x
f x x nn
= + + + + +
−！ ！
，
所以
( )
2 3 2 1
2 2 1
( ) 1 + ( )
2! 3! 2 1
n
nn
x x x
f x x f x
n
−
−
= + + + + =
−！
，
又因为
21
()
n
fx
−
单调递增且有唯一零点，设其零点为
n
x
，
则当
()
n
xx −，
时，
21
( ) 0
n
fx
−
，当
()
n
xx + ，
时，
21
( ) 0
n
fx
−
；
所以
2()
n
fx
在
()
n
x− ，
上单调递减，在
()
n
x+，
上单调递增；
所以
2
2 min 2 2 1
( ) ( ) ( ) (2 )!
n
n
n n n n n
x
f x f x f x n
−
= = +
，
因为
21
( )=0
nn
fx
−
，
所以
22
2 2 2 1
( ) ( ) ( ) 0
(2 )! (2 )!
nn
nn
n n n n n
xx
f x f x f x nn
−
= + =
，
所以
2()
n
fx
的零点个数为 0．
21．【解析】
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2025-05-28 89
作者：envi
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