2021届湖南岳阳市二模数学试题
试卷第 1页，总 6页
岳阳市 2021 届高三教学质量检测试题（二）
数 学
本试卷共 6页，共 22 道题，满分 150 分，考试用时 120 分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答
题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题（本题共
8
小题，每小题
5
分，共
40
分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．如图，矩形表示实数集
R
，集合
2
{ | 4 3 0}, { |0 2}A x x x B x x= − + =
，则阴影部分表
示的集合为（ ）
A．
{ | 2 3}xx
B．
{ | 2 3}xx
C．
{ |0 1}xx
D．
{ | 0 1}x x x或
2．若复数
z
满足
(3 4 ) 25zi+=
，则
z
在复平面内对应的点在（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
3．已知
sin 2cos 0
+=
，则
sin 2
=
（ ）
A．
4
5
−
B．
2
5
−
C．
2
5
D．
4
5
4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒
尖等，多见于亭阁式建筑．某园林建筑为六角攒尖，如图所示，它主要部分的轮廓可近似看作一个
正六棱锥．设这个正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为
2
，则侧棱与底面外接圆半径的比为（ ）
A．
3
3sin
B．
3
3cos
C．
1
2sin
D．
1
2cos
试题卷第 2页，总 6页
5．已知
,Rab
，且
0ab
，则下列结论正确的是（ ）
A．
11
ab
B．
22
ab
C．
22
ab
D．
22
ln lnba
6．如图，正五边形
ABCDE
中，
AB AB m=
，
BC BD n=
，
CD CA p=
，
DE DC q=
，则（ ）
A．
m n p q
B．
n m p q
C．
m p n q
D．
n p m q
7．《周髀算经》中给出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小
满、芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论．已知某地立春与雨水两个节气的日影长分别
为
10.5
尺和
9.5
尺，现在从该地日影长小于
9
尺的节气中随机抽取
2
个节气进行日影长情况统计，
则所选取这
2
个节气中恰好有
1
个节气的日影长小于
5
尺的概率为（ ）
A．
3
7
B．
4
7
C．
13
21
D．
5
7
8．设实数
0a
，若对任意的
[e , )x +
，不等式
2
e ln 0
a
x
a x x−
恒成立，则
a
的最大值为( )
A．
1
e
B．
2
e
C．
e
2
D．
e
二、多项选择题（本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得
5
分，部分选对的得
2
分，有选错的得
0
分）
9．下列结论正确的是（ ）
A． 若
,ab
为正实数，
ab
，则
322
3+a b
ab ba+
B． 若
,,a b m
为正实数，
ab
，则
a m a
b m b
+
+
C． 若
,abR
，则“
0ab
”是“
11
ab
”的充分不必要条件
D． 当
(0, )x +
时，
4
23xx
−−
的最小值是
2 4 3−
10．设函数
sin cos
() sin cos
xx
fx xx
=+
，则（ ）
A．
( ) ( π)f x f x=+
B．
()fx
在
π π
( , )
44
−
上单调递增
C．
()fx
在
π3π
( , )
44
−
上有最大值
2
4
D．
π
4
x=
是
()fx
的一条对称轴
C
B
A
E
D
试卷第 3页，总 6页
11．已知三棱锥
A BCD−
的三条侧棱
,,AB AC AD
两两垂直，其长度分别为
,,abc
．点
A
在底面
BCD
内的射影为
O
，点
, , ,A B C D
所对面的面积分别为
A
S
，
B
S
，
C
S
，
D
S
．在下列所给的命题
中，正确的有（ ）
A．
2 2 2 2
1 1 1 1
AO a b c
= + +
；
B．
2 2 2 2
A B C D
S S S S + +
；
C． 若三个侧面与底面所成的角分别为
，
，
，则
2 2 2
sin sin sin 2
+ + =
；
D． 三棱锥
A BCD−
的外接球表面积为
2 2 2
()πabc++
12．如图，与圆柱底面成
60
的平面
截此圆柱，其截面图形为椭圆．已知该圆柱底面半径为
2
，
则（ ）
A． 椭圆的离心率为
3
2
B． 椭圆的长轴长为
83
3
C． 椭圆的面积为
32π
D． 椭圆内接三角形的面积最大值为
63
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分）
13．若
7 2 8
0 1 2 8
(1 )(1 2 )x x a a x a x a x+ − = + + + +
，则
1 2 8
a a a+++
的值是 ．
14．数列
{}
n
a
中，
19
3, 9aa==
，且任意连续三项的和都是
18
，则
2021
a=
．
15．已知抛物线
24xy=
上存在相异两点关于直线
y x m=+
对称，请写出一个符合条件的实数
m
的
值 ．
16．已知函数
ln , ( 0 , )
() 4 , ( , 0 ]
xx
fx xx
+
=+ −
，若实数
a b c d,,,
互不相等且
( ) ( ) ( ) ( )f a f b f c f d= = =
，则
abcd
的取值范围为 ．
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