2021届湖南岳阳市二模数学答案
岳阳市 2021 届高三教学质量检测（二）
数学参考答案及评分细则
一、单项选择题（本题共
8
小题，每小题
5
分，共
40
分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
A
C
D
B
B
D
二、多项选择题（本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得
5
分，部分选对的得
2
分，有选错的得
0
分）
题号
9
10
11
12
答案
AC
BCD
ACD
AD
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分）
13.
3−
14.
6
15.
m
的取值只需满足
3m
即可 16.
[0 ,16)
四、解答题（本题共 6小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．设数列
{}
n
a
满足
11a=
，
1
123
n
nn
aa −
+− =
．
（1）求数列
{}
n
a
的通项公式；
（2）令
(2 1)
nn
b n a=+
，求数列
{}
n
b
的前
n
项和
n
S
．
【解答】
（1） 由已知，当
2n
时，
2
123
n
nn
aa −
−
− =
，
1 2 1 3 2 1
( ) ( ) ( )
n n n
a a a a a a a a −
= + − + − + + −
…………2分
1
2 2 1
13
1 2(1 3 3 3 ) 1 2 3
13
n
nn
−
−−
−
= + + + + + = + =
−
…………4分
当
1n=
时，
11
131a−
==
符合上式，所以
1
3n
n
a−
=
，
*
nN
. …………5分
（2） 由（1）知
1
(2 1) (2 1) 3n
nn
b n a n −
= + = +
，
0 1 1
3 3 5 3 (2 1) 3n
n
Sn
−
= + + + +
①
3n
S=
1 2 1
3 3 5 3 (2 1) 3 (2 1) 3
nn
nn
−
+ + + − + +
② …………7分
①
−
②得
1 2 1
2 3 2(3 3 3 ) (2 1) 3
nn
n
Sn
−
− = + + + + − +
1 2 1 (2 1)2(1 3 3 3 ) 3 1
nn
n
−
= + + + + − + +
13
2 (2 1) 3 1
13
nn
n
−
= − + +
−
23
n
n= −
所以，
3n
n
Sn=
，
*
nN
. …………10
18．在①
cos cos 2 cosa B b A c C+=
；②
2
2sin 2 3sin( )cos 3C A B C+ + =
；
③
sin( ) sin sinC A B A− = −
这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题：
在
ABC△
中，角
,,A B C
的对边分别为
,,abc
，且 ．
（1）求
C
；
（2）若
2c=
，求
22
ab+
的范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解答】
（1） 选① 由正弦定理得，
sin cos sin cos 2sin cosA B B A C C+=
， …………2分
即
sin( ) sin 2sin cosA B C C C+ = =
所有
1
cos 2
C=
，又
(0,π)C
，故
π
3
C=
…………5分
选②
21 cos2
2sin 2 3sin cos 2 3sin2 3
2
C
C C C C
−
+ = + =
…………2分
即
π
3sin2 cos2 2, sin(2 ) 1
6
C C C− = − =
…………4分
所以，
π π
262
C−=
，
π
3
C=
…………5分
选③
sin( ) sin( ) sinC A C A A− = + −
…………2分
所以，
sin cos cos sin sin cos cos sin sinC A C A C A C A A− = + −
即
2sin cos sinA C A=
，
sin 0A
…………4分
所以，
1
cos 2
C=
，
(0,π)C
，故
π
3
C=
…………5分
（2） 由正弦定理，
4 3 4 3
sin , sin
33
a A b B==
…………6分
16 16 2π
sin sin sin sin( )
3 3 3
ab A B A A= = −
…………7分
2
16 3 1 8 3 8
sin ( cos sin ) sin cos sin
3 2 2 3 3
44
( 3sin 2 cos 2 )
33
A A A A A A
AA
= + = +
= − +
8π4
sin(2 )
3 6 3
A= − +
…………9分
因为
2π
(0 )
3
A
，所以
(0,4]ab
…………11 分
由余弦定理
22 4 (4,8]a b ab+ = +
…………12 分
19．如图，在四棱锥
P ABCD−
中，平面
PBC
⊥
平面
ABCD
，
90PBC=
，
AD BC∥
，
90ABC
=
，
2 2 2 2AB AD CD BC= = = =
．
（1）求证：
CD ⊥
平面
PBD
；
（2）若直线
PD
与底面
ABCD
所成的角的余弦值为
3
3
，求二面角
B PC D−−
的正切值．
【解答】
（1） 证明：在四边形
ABCD
中，
/ / , 90 ,2 2 2AD BC ABC AB AD CD BC
= = = =
，
所以
,ABD BCD
都为等腰直角三角形，即
CD DB⊥
，
又因为平面
PBC
⊥
平面
, 90ABCD PBC
=
，平面
PBC
平面
,ABCD BC=
所以直线
PB ⊥
平面
ABCD
，又
CD
平面
ABCD
所以
PB CD⊥
又
PB BD B=
，
所以
CD ⊥
平面
PBD
. …………6分
（2） 以
B
为原点，
,,BC BP BA
分别为
,,x y z
轴建立空间直角坐标系，如图，
设
2,BC =
则
, 1, 2,AB CD BD= = =
因为直线
PD
与底面
ABCD
所成的角的余弦值为
3,
3
所以在
Rt PBD△
中
3
,cos ,
3
BD
PDB PD
==
即
6, 2PD PB==
，
设平面
PBC
和平面
PDC
法向量分为为
,,mn
易知可取
(0,0,1),m=
因为
PC =
(2, 2,0), (1,0, 1),DC− = −
所以
0,
0
PC n
DC n
=
=
解得
(1,1,1),n=
设所求二面角为
,
所以
1
cos | | | | 3
mn
mn
==
，即
tan 2
=
…………12 分
A
B
C
P
D
z
x
y
A
B
C
P
D
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2025-05-28 89
作者：envi
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