2021届高考数学二轮复习【导数压轴专题】【教案7】极值点偏移3：非纯偏移（不等式解法）（教师版）

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【教案 7】极值点偏移 3：非纯偏移（不等式解法）

一、两个重要的不等式

1、对数平均值不等式：，，则；

2、指数平均值不等式：，，则 .

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【例1】【 2010· 天津卷 · 理科 ˙节选】已知函数（），如果，且

，证明 .

【答案】：

【解析】：原题目有 3 问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三

问：

设，则，，两边取对数

①； ②

①-②得：

根据对数平均值不等式：， .

【例2】【2011·辽宁卷·理科】已知函数．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）设，证明：当时，；

（Ⅲ）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：．

【答案】：（Ⅰ）在单调增加，在单调减少；

（Ⅱ）当，；（Ⅲ）见解析.

【解析】：（I）

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（i）若单调增加.

（ii）若且当

所以单调增加，在单调减少.

（II）设函数则

当 .

故当，

（III）由（I）可得，当的图像与 x 轴至多有一个交点，

故，从而的最大值为

不妨设

由（II）得从而

由（I）知，

【解法二】：设，，，则，

①； ②

①-②得：，

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