2021届高考数学二轮复习【导数压轴专题】【教案6】极值点偏移2：非纯偏移（转化）（教师版）

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【教案 6】极值点偏移 2：非纯偏移（转化）
【例1】 【2021˙贵州贵阳市高三上期末质检˙理科】已知函数 有两个零点 .
（1）求 的取值范围；
（2）求证： .
【答案】：（1） ；（2）证明见解析.
【解析】：(1) 有两个零点 有两个相异实根．
令 ，则
由 得： ，由 得： ，
在 单调递增，在 单调递减， ，
又 ， 当 时， ；当 时，
当 时， ，
有两个零点时，实数 的取值范围为 ．
（2）不妨设 ，由题意得 ,
， , ，
要证： ，只需证 .
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，
令 ， ，只需证
， ， 只需证： .
令 , ，
在 递增， ， 成立.
综上所述， 成立．
【解法二】欲证 ，需证 ．若 有两个极值点 ， ，即函数 有两个
零点．又 ，所以， ， 是方程 的两个不同实根．显然 ，否则，函数
为单调函数，不符合题意．
由 ，
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【例2】 【2019˙四川宜宾三诊˙理科】已知函数 ， ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若函数 有两个零点 ，求证： ．
【答案】：（1） 的增区间是 ，减区间是 ；（2）证明见解析.
【解析】：（1）对函数求导可得 ，令 ，得
①当 时，若 则 ，即 ；若 ，则 ，即 ．
②当 时，若 ，则 ，即 ；若 ，则 ，即 ．
综上， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．
（2）证明：由（1）知， 有两个零点时， ， ，∴ ．
令 ， ，则
∴ 为方程 的两个根．
令 ，则 为 的两个零点， ．
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