2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题（解析）

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2020 年全国高中数学联赛浙江赛区初赛解析
1：设 r为方程 的解，则以 为其解的首项系数为 1的整系数一元三次方程为 ．
解 析 : 因 为 设 r为 方 程 的 根 ， 则 ， 两 边 平 方 可 得 ， 即
，打开可得 ,故该一元三次方程为 ．故填：
2：已知 ，则 在 上的最大值为 ．
解析：由题意得： ，所以 在 上的最大值为 ；故填 ．
3：某竹竿长为 24 米，一端靠在墙上，另一端落在地面上．若竹竿上某一节点到墙的垂直距离和到地
面的垂直距离都是 7米，则此时竹竿靠在墙上的端点到地面的垂直距离为米 ，或 米．
解析 1：以边为参
由题得： ，所以 ，即 ，
即 ，且 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 为方程 的两根，
或 ，故填 与 ．
解析 2：以线为参
设直线 方程为 ，则 在直线上，所以 ，且 ，下同解法 1．
解析 3：以角为参
设 ， 因 为 ， 所 以 ， 结 合 ， 得
，所以为 与 ．
1
4：设 则 的最大值为 ．
解析 1：半角+基本不等式
分子分母同除以 得 故填：
解析 2：辅助角公式
由
故填：
解析 3：辅助角公式
故填：
解析 4：换元二次函数最值
令 则
取等号时 故填：
解析 5：根判别式（万能法）
令 则
取等号时
故填：
解析 6：斜率几何意义切线
令 可以看做
2
M
P
O
C
A
B
A'
动点 和点 的斜率最大值
则 在单位圆 上；
设则
故 故填：
5：在四面体
中，棱 两两垂直，且 ， 分别为线段 的中点，
则直线 与平面 所成角的正弦值为
．
解析 1：等体积法
不妨设
，则
， ，
由
，
设 到平面
的距离为 ，则
，故 ，
又 ， ，且易知 （ 平面 ），故 ，
设
直线 与平面 所成角
为 ，则 ，故答案为 ．
解析 2：建系，纳入正方体考虑
不妨设
，
因
棱 两两垂直，
可以以 为原点，以 ， ， 为 轴正方向单位向量建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ，
可视为棱长为 1的正方体的一角，可知平面 的法向量方向为正方体体对角线方向
设
直线 与平面 所成角
为 ，则 ，故答案为 ．
6：设平面上不共线的三个单位向量 ，满足 ．若 ，则 的取值
范围为 ．
解析：设 ，则由于 ，则 为 的重心．由于
，若设 ，则点 在线段 上．设线段 的中点为 ．
由此 的最小值为
3
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