2020年全国高中数学联赛一试试题（A卷）

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2020 年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分.
1、在等比数列 中， ， ，则 的值为________．
2 、 在 椭 圆 中 ， 为 长 轴 的 一 个 端 点 ， 为 短 轴 的 一 个 端 点 ， 为 两 个 焦 点 ． 若
，则 的值为________．
3、设 ，函数 在区间 上的最小值为 ，在区间 上的最小值为 ．若
，则 的值为________．
4、设 为复数，若 为实数（ 为虚数单位），则 的最小值为________．
5、在 中， ， ，边 上的中线长为 ，则 的值为________．
6、正三棱锥 的所有棱长均为 1， 分别为棱 的中点，则该正三棱锥的外接球
被平面 所截的截面面积为________．
7 、 设 ， 满 足 ： 关 于 的 方 程 恰 有 三 个 不 同 的 实 数 解 ， 且
，则 的值为________．
8、现有 10 张卡片，每张卡片上写有 中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同．将
这 10 张卡片放入标号为 的五个盒子中，规定写有 的卡片只能放在 号或 号盒子中．一种
放法称为“好的”，如果 1 号盒子中的卡片数明显多于其他每个盒子中的卡片数，则“好的”方法共有_
_______种．
二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9、（本题满分 16 分）
在 中， ．求 的取值范围．
10、（本题满分 20 分）
对正整数 及实数 ，定义 ，
其中 表示不超过实数 的最大整数， ．若整数 满足
，求 的值．
11、（本题满分 20 分）
在平面直角坐标系中，点 在双曲线 上，满足 为等腰直角三角形．求 面积
的最小值．
1
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