2019-2020学年人教A版高中数学选修1-1 教师用书 (共1份打包)

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第一章　常用逻辑用语

1．1　命题及其关系

1．1.1　命　题

 目标导学

1．了解命题的有关概念．

2．会判断命题的真假．

3．理解若 p，则 q形式的命题的条件和结论．能指出此类命题的条件和结

论．

‖知识梳理‖

1．命题的概念

一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述

句叫做命题．

2．命题的分类

判断为真的语句为真命题，判断为假的语句为假命题．

3．命题的结构

命题的结构形式是“若

p ，则

q ”，其中 p

是条件，q

是结论．

1．对于命题概念的理解

(1)并不是任何语句都是命题，一个语句是命题应具备两个条件：

①该语句是陈述句；

②能够判断真假．

一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．

(2)对于含有字母变量的语句，根据字母的取值范围，若能判断真假，则是

命题；若不能判断真假，则不是命题．

2．命题的结构形式

(1)在数学中，一般用小写字母 p，q，r，…等表示命题．如命题 p：是无理

数；命题 q：π是有理数．

(2)常见的命题形式为：“若 p，则 q”，其中 p称为命题的条件，q称为命

题的结论．当一个命题不是“若 p，则 q”的形式时，为了找出命题的条件和结

论，可以对命题改写为“若 p，则 q”的形式．如命题“菱形的对角线互相垂直

且平分”，可以改写为：“若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平

分”．

题型一　命题及其真假的判断　

　判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．

(1)垂直于同一直线的两条直线必平行吗？

(2)x2＋4x＋5>0(x∈R)；

(3)x2＋3x－2＝0；

(4)一个数不是正数就是负数；

(5)4 是集合{1,2,3,4}中的元素；

(6)求证 y＝sin 2x的最小正周期为 π.

【思路探索】　解答本题，首先要根据命题的概念，判断是否是命题，若是，

再根据条件和结论的逻辑关系判断真假．

【解】　(1)是疑问句，不是命题．

(2)是命题．因为当 x∈R时，x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0 恒成立，可判断真假，

所以是命题，而且是真命题．

(3)不是命题．因为语句中含有变量 x，在没给定 x的值之前，无法判断语句

的真假，所以不是命题．

(4)是命题．因为数 0既不是正数也不是负数，所以是假命题．

(5)是命题．因为 4∈{1,2,3,4}，且是真命题．

(6)是祈使句，不是命题．

[名师点拨]

判断一个语句是否是命题，关键在于能否判断其真假．一般地，陈述句 “π

是无理数”，反意疑问句“难道矩形不是平行四边形吗？”都是命题；而祈使句

“求证是无理数”，疑问句“你是高一的学生吗？”，感叹句等都不是命题.

　(2019·陆良八中月考)下面命题中是真命题的是(　　)

A．函数 y＝sin2x的最小正周期是 2π

B．等差数列一定是单调数列

C．直线 y＝ax＋a过定点(－1,0)

D．在△ABC 中，若AB·BC>0，则角 B为锐角

解析：A中，y＝sin2x＝－cos 2x，周期 T＝π，A为假命题；B中，当公差为

0时，等差数列为常数列，B为假命题；D中，若AB·BC>0，则AB与BC的夹角

为锐角，角 B为钝角，D为假命题，故 C正确．

答案：C

　命题的结构形式　

　把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断命题的真假．

(1)ac>bc⇒a>b；

(2)当x2－2x－3＝0时，x＝－1或x＝3；

(3)有两个内角之和大于 90°的三角形是锐角三角形；

(4)实数的平方是非负数；

(5)平行于同一平面的两条直线互相平行．

【思路探索】　本例所给的命题都不具备“若p，则 q”的形式，解决这类

题型既要找准命题的条件和结论，还要注意表述的完整性．

【解】　(1)若ac>bc，则 a>b，是假命题．

(2)若x2－2x－3＝0，则 x＝－1或x＝3，是真命题．

(3)若一个三角形中，有两个内角之和大于 90°，则这个三角形是锐角三角形，

是假命题．

(4)若一个数是实数，则它的平方是非负数，是真命题．

(5)若两条直线平行于同一个平面，则它们互相平行，是假命题．

[名师点拨]

(1)把命题改写成“若p，则 q”(或“如果 p，那么 q”)的形式，其中 p为命

题的条件，q为命题的结论，要注意条件及结论的完整性，将条件写在前面，结

论写在后面．“若p，则 q”是原来命题的另一种叙述形式，它的真假性等同于

原来的命题．

(2)不要认为假命题没有条件和结论，对于一个命题无论是真命题还是假命

题，它必须由条件和结论两个部分组成，只是有些命题的条件或结论不十分明显．

(3)判断一个命题的真假．“若p，则 q”为真命题，则需要由 p经过严格推

理得出 q.“若p，则 q”为假命题，只需举出一个反例说明即可.

　把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断其真假．

(1)能被 9整除的数是偶数；

(2)当x2＋(y－1)2＝0时，有 x＝0，y＝1；

(3)如果 a>1, 那么函数 f(x)＝(a－1)x是增函数．

解：(1)若一个数能被 9整除，则这个数是偶数，是假命题．

(2)若x2＋(y－1)2＝0，则 x＝0，y＝1，是真命题．

(3)若a>1，则函数 f(x)＝(a－1)x是增函数，是假命题．

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