2018-2019学年人教A版高中数学必修二：空间几何体的三视图和直观图(知识讲解+例题演练)

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空间几何体的三视图和直观图

【学习目标】

1.了解平行投影与中心投影，了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各

自特点，了解空间图形的不同表现形式；

2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱的简易组合体）的三视图，能识别上述的三

视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．

【要点梳理】

要点一：中心投影与平行投影

1．投影、投影线和投影面

由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中的光

线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面．

2．中心投影

我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影．中心投影的投影线交于一点，它的实质是一个点

光源把一个物体射到一个平面上，这个物体的影子就是它在这个平面上的中心投影．

3．中心投影的性质

（1）中心投影的投影线交于一点；

（2）点光源距离物体越近，投影形成的影子越大．

4．平行投影

我们把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫

做斜投影．

5．平行投影的性质

（1）平行投影的投影线互相平行．

（2）在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子与这个平面图形的形状和大小完全相同．

6．中心投影与平行投影的区别与联系

（1）平行投影包括斜二测画法和三视图．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，

看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体．

（2）画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时，一般用平行投影法．

要点二：空间几何体的三视图

1．三视图的概念

把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形，但是只有一个平面图形很难把握几何体

的全貌，因此我们需要从多个角度进行投影，这样才能较好地把握几何体的形状和大小．通常，我们总是

选择三种投影．

（1）光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图；

（2）光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图；

（3）光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图．

几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．

2．三视图的画法规则

画三视图时，以正视图为准，俯视图在正视图的正下方，侧视图在正视图的正右方，正、俯、侧三个视

图之间必须互相对齐，不能错位．

正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映物体的长度和宽度，侧视图反映物体的宽度和高度，由此，

每两个视图之间有一定的对应关系，根据这种对应关系得到三视图的画法规则：

（1）正、俯视图都反映物体的长度——“长对正”；

（2）正、侧视图都反映物体的高度——“高平齐”；

（3）俯、侧视图都反映物体的宽度——“宽相等”．

要点三：斜二测画法

在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形．要画空间几何体的直观图，

首先要学会水平放置的平面图形的直观图画法．

对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．

斜二测画法的步骤：

（1）在已知图形中取互相垂直的 x轴和 y轴，两轴相交于点 O．画直观图时，把它们画成对应的 x＇轴

与y＇轴，两轴交于点 O＇，且使∠x＇O＇y＇=45°（或 135°），它们确定的平面表示水平面．

（2）已知图形中，平行于 x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x＇轴、y＇轴的线段，并使

它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．

（3）已知图形中，平行于 x轴或 z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于 y轴的线段，长度变为

原来的一半．画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图形的直观图．

要点诠释：

用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，

这些点的位置都要通过其所在的平行于 x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段．

要点四：立体图形的直观图

（1）用斜二测画法画空间几何体的步骤

①在已知图形中，取互相垂直的 x轴和 y轴，再取z轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°；

②画直观图时，把它们画成对应的轴 x′，y′，z′，使∠x′O′y′=45°（或 135°），∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确

定的平面表示水平平面；

③已知图形中平行于 x轴，y轴或 z轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴，y′轴或 z′轴的线段；

④在已知平面图形中平行于 x轴和 z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y轴的线段，长度

变为原来的一半；

⑤擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图．

（2）斜二测画法保留了原图形中的三个性质

①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然

相交；③平行于 x，z轴的长度不变．

（3）画立体图形与画水平放置的平面图形相比多了一个 z轴，其直观图中对应于 z轴的是 z＇轴，平面

x＇O＇y＇表示水平平面，平面 y＇O＇z＇和 x＇O＇z＇表示直立平面．平行于 z轴（或在：轴上）的线

段，其平行性和长度都不变．

（4）三视图与直观图的联系与区别

三视图与直观图都是用平面图形来刻画空间图形的位置特征与度量特征，二者有以下区别：

①三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，由三视图可以得到一个精确的几何体，如零件、建筑图纸

等都是三视图．

②直观图是对空间几何体的整体刻画，可视性高，立体感强，由此可以想象实物的形状．

要点五：已知三视图画直观图

三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式．直观图是在某一定点观察到的图形，三视图是投

射线从不同位置将物体按正投影向投影面投射所得到的图形，对于同一个物体，两者可以相互转换．

由三视图画直观图，一般可分为两步：

第一步：想象空间几何体的形状．

三视图是按照正投影的规律，使平行光线分别从物体的正面、侧面和上面投射到投影面后得到的投影图，

包括正视图、侧视图和俯视图．

正视图反映出物体的长和高，侧视图反映出物体高和宽，所以正视图和侧视图可以确定几何体的基本形

状，如柱体、锥体或台体等．俯视图反映出物体的长和宽．对于简单几何体来说，当俯视图是圆形时，该

几何体是旋转体；当俯视图是多边形时，该几何体是多面体．

第二步：利用斜二测画法画出直观图．

当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应物体的直观图．注意用实线表示看得见的部分，用虚线

表示看不见的部分．画完直观图后还应注意检验．

【典型例题】

类型一、平行投影与中心投影

例1．下列命题中正确的是（）

A．矩形的平行投影一定是矩形

B．梯形的平行投影一定是梯形

C．两条相交直线的投影可能平行

D．一条线段的平行投影如果仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中心

【答案】　D

【解析】平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影改变几何图形的形状，因而A、B不正

确．

两条直线的交点无论是平行投影还是中心投影仍是同一个点，这个点在两条直线的投影上，因而两条

直线的投影不可能平行，故C错．

两条线段平行投影的比等于这两条线段的比，因而D正确．

【总结升华】空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线，如照片中

由近到远，物体之间的距离越来越近，最后相交于一点．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，

但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体，所以在绘画时，经常使用这种方法．

例2．如下图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是 AA1、C1D1的中点，G是正方形 BCC1B1

的中心，则四边形 AGFE 在该正方体的各个面上的射影可能是下图中的________．

【答案】（1）（2）（3）

【解析】要画出四边形 AGFE 在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A、G、F、E在每个

面上的投影，再顺次连接即得在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的．由此可得在面

ABCD 和面 A1B1C1D1上的投影是上图（1）；在面 ADD1A1和面 BCC1B1上的投影是上图（2）；在面

ABB1A1和面 DCC1D1上的投影是上图（3）．故填（1）（2）（3）．

【总结升华】画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点如顶点等，画出这些关键

点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影．

举一反三：

【变式 1】如下图所示，E、F分别为正方体面 ADD＇A＇、面 BCC＇B＇的中心，则四边形 BFD＇E

在该正方体的各个面上的投影可能是下图中的________．

【答案】②③

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