0705几何体表面积与体积的计算 学案（无答案）-2021届高三数学一轮复习

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0705 几何体表面积与体积的计算----前置作业
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知识梳理
1．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图及侧面积公式
直棱柱 正棱锥 正棱台
侧面展开图
侧面积公式
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式
3．空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝
锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝
台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h
球
4.等积法
当给定顶点和底面的三棱锥的体积很难计算时，我们可以通过换顶点和底面的方法计算三棱锥
的体积．应用 1：计算三棱锥的体积；应用 2：计算点到平面的距离．
5.几个与球有关的切、接的常用结论
(1)正方体的棱长为 a，外接球的半径为 R，内切球的半径为 r；
①若球为正方体的外接球，则 2R＝________；
②若球为正方体的内切球，则 2r＝________；
③若球与正方体的各棱相切，则 2R′＝________.
(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝________.
1
(3)正四面体的棱长为 a，外接球的半径为 R，内切球的半径为 r；
①外接球：球心是正四面体的中心；半径 R＝________；
②内切球：球心是正四面体的中心；半径 r＝________.
基础练习
1. 把 个半径为 的铁球熔成一个底面半径为 的圆柱，则圆柱的高为________．
2. 正四棱柱的体对角线长为 ，侧面的对角线长为 ，则它的侧面积是________．
3. 一个正三棱锥的底面边长为 ，侧棱长为 ，则这个正三棱锥的体积是________．
4.若圆锥的侧面展开图是圆心角为 120°、半径为 1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是(
)
A．4∶3 B．2∶1
C．5∶3 D．3∶2
例题选讲
例 1.（1）底面边长为 ，高为 的正三棱锥的表面积为_______ .
（2）在矩形 中，已知 ，以边 所在的直线为轴旋转一周，则形成
的几何体的侧面积为_______．
变式训练
已知圆台的母线长为 ，母线与轴的夹角为 ，上底面半径是下底面半径的 ，则这
个圆台的侧面积是________ .
2
小结提炼
例 2.（1）已知三棱柱 的所有棱长均为 ，且 底面 ，则三棱锥
的体积为________．
（2）长方体的长、宽、高分别为 ，那么以长方体的互不相邻的四个顶点为顶点的四面
体的体积为_________．
变式训练
已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为 ，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三
角形，则圆锥底面中心到截面的距离为________．
例3. (1)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上，则该圆柱的体
积为(　　)
A．π B.
C. D.
(2)(2020·温州七校联考)三棱锥 PABC 中，AB＝BC＝，AC＝6，PC⊥平面 ABC，PC＝2，则该
三棱锥的外接球的表面积为(　　)
A.π B.π
C.π D.π
变式训练
（1）若正四面体的棱长为 ，则其外接球的表面积为________．
（2）在平面几何中有如下结论：正三角形 的内切圆面积为 ，外接圆面积为 ，则
，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体 的内切球体积为 ，外接球
体积为 ，则 =________.
例4．如图，已知球 O是棱长为 1的正方体 ABCDA1B1C1D1的内切球，则平面 ACD1截球 O的截面面
积为(　　)
3
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