10.7 条件概率及二项分布（导学案）-2021新高考数学【创新设计】一轮总复习（鲁津京琼鄂）人教A版

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第7节　条件概率及二项分布

考试要求　1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2.理解 n次独立重复试

验的模型及二项分布，能解决一些简单的实际问题.

知识梳理

1.条件概率

条件概率的定义条件概率的性质

设A，B为两个事件，且 P(A)＞0，称 P(B|A)＝为在事件

A发生的条件下，事件 B发生的条件概率

(1)0≤P(B|A)≤1；

(2)如果 B和C是两个

互斥事件，则 P(B∪C|

A)＝P ( B | A ) ＋ P ( C | A )

2.事件的相互独立性

(1)定义：设 A，B为两个事件，如果 P(AB)＝P ( A ) P ( B ) ，则称事件 A与事件 B相

互独立.

(2)性质：若事件 A与B相互独立，则 A与B，A与B，A与B也都相互独立，P(B|

A)＝P ( B ) ，P(A|B)＝P ( A ) .

3.独立重复试验与二项分布

(1)独立重复试验

在相同条件下重复做的 n次试验称为 n次独立重复试验，其中 Ai(i＝1，2，

…，n)是第 i次试验结果，则

P(A1A2A3…An)＝P ( A 1) P ( A 2) P ( A 3) … P ( A n).

(2)二项分布

在n次独立重复试验中，用 X表示事件 A发生的次数，设每次试验中事件 A发

生的概率为 p，则 P(X＝k)＝C p k

(1 － p ) n

－

(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量

X服从二项分布，记作 X～B(n，p)，并称 p为成功概率.

[常用结论与微点提醒]

相互独立事件与互斥事件的区别

相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为 P(AB)＝P(A)P(B)，

互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为 P(A∪B)＝

P(A)＋P(B).

诊断自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)条件概率一定不等于它的非条件概率.(　　)

(2)对于任意两个事件，公式 P(AB)＝P(A)P(B)都成立.(　　)

(3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝

0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了 n次独立重复试验中事件 A发生

的次数的概率分布.(　　)

(4)n次独立重复试验要满足：①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别

称为“成功”和“失败”；②每次试验“成功”的概率为 p；“失败”的概率

为1－p；③各次试验是相互独立的.(　　)

解析　对于(1)，条件概率并不一定不等于无条件概率，例如当 A与B相互独立

时，就有 P(A|B)＝P(A)，故(1)错；对于(2)，只有当 A，B为相互独立事件时，

公式 P(AB)＝P(A)P(B)才成立.

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2.(老教材选修 2－3P54 练习 2改编)已知盒中装有 3个红球、2个白球、5个黑球，

它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的

条件下，第二次拿到红球的概率为(　　)

A. B. C. D.

解析　设“第一次拿到白球”为事件 A，“第二次拿到红球”为事件 B，依题

意P(A)＝＝，P(AB)＝＝，

故P(B|A)＝＝.

答案　B

3.(老教材选修 2－3P55 练习 3改编)天气预报，在元旦假期甲地的降雨的概率是

0.2，乙地的降雨概率是 0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，

则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(　　)

A.0.2 B.0.3 C.0.38 D.0.56

解析　设甲地降雨为事件 A，乙地降雨为事件 B，则两地恰有一地降雨为 AB＋

AB，且 A，B，A，B彼此相互独立，

∴P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)

＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)

＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.

答案　C

4.(2020·昆明诊断)袋中装有 2个红球，3个黄球，有放回地抽取 3次，每次抽取

1球，则 3次中恰有 2次抽到黄球的概率是(　　)

A. B. C. D.

解析　袋中装有 2个红球，3个黄球，有放回地抽取 3次，每次抽取 1球，每次

取到黄球的概率 p1＝，∴3次中恰有 2次抽到黄球的概率 p＝C＝.

答案　D

5.(2019·全国Ⅰ卷)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场

胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为

“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且

各场比赛结果相互独立，则甲队以 4∶1获胜的概率是________.

解析　记事件 M为甲队以 4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，

前四场甲队胜三场负一场，所以 P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)

＝0.18.

答案　0.18

6.(多填题)(2020·泰安质检)某人有 4把钥匙，其中 2把能打开门，现随机地取 1

把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________；

如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________.

解析　由题意知，第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的

概率为×＝.如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为×＝.

答案　　

考点一　条件概率

【例 1】 (1)(一题多解)从1，2，3，4，5中任取 2个不同的数，事件 A＝“取到

的2个数之和为偶数”，事件 B＝“取到的 2个数均为偶数”，则 P(B|A)＝(

)

A. B. C. D.

(2)(2020·长沙一模)已知一种元件的使用寿命超过 1年的概率为 0.8，超过 2年的

概率为 0.6，若一个这种元件使用到 1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过

2年的概率为(　　)

A.0.75 B.0.6 C.0.52 D.0.48

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