10.6 离散型随机变量及其分布列（导学案）-2021新高考数学【创新设计】一轮总复习（鲁津京琼鄂）人教A版

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第6节　离散型随机变量及其分布列

考试要求　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列

对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应

用.

知识梳理

1.离散型随机变量

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变

量，称为离散型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列及性质

(1)一般地，若离散型随机变量 X可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…，xn，X

取每一个值 xi(i＝1，2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则表

Xx1x2…xi…xn

Pp1p2…pi…pn

称为离散型随机变量 X的概率分布列.

(2)离散型随机变量的分布列的性质：

①pi≥0(i＝1，2，…，n)；② p1＋ p 2＋ … ＋ p n＝1.

3.常见离散型随机变量的分布列

(1)两点分布：若随机变量 X服从两点分布，其分布列为

X0 1

P1－pp

，其中 p＝P(X＝1)称为成功概率.

(2)超几何分布：在含有 M件次品的 N件产品中，任取 n件，其中恰有 X件次品，

则P(X＝k)＝， k＝0，1，2， … ， m，其中 m＝min{M，n}，且

n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量 X服从超几何分布.

X0 1 …m

P…

[常用结论与微点提醒]

随机变量的线性关系

若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则 Y也是随机变量.

诊断自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于 1.(　　)

(2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实

际意义.(　　)

(3)

如果随机变量

的分布列由下表给出，

X2 5

P0.3 0.7

则它服从两点分布.(　　)

(4)一个盒中装有 4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是

黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为 X，则 X服从超

几何分布.(　　)

解析　对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之

和等于 1，故(1)不正确；对于(2)，因为离散型随机变量的所有结果都可用数值

表示，其中每一个数值都有明确的实际的意义，故(2)不正确；对于(3)，X的取

值不是 0和1，故不是两点分布，(3)不正确；对于(4)，因为超几何分布是不放回

抽样，所以试验中取到黑球的次数 X不服从超几何分布，(4)不正确.

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2.(老教材选修 2－3P49 练习 2改编)抛掷一枚质地均匀的硬币 2次，则正面向上

次数 X的所有可能取值是______.

答案　0，1，2

3.(

多选题

)(

老教材选修

－

3P77A1

改编

)

已知随机变量

的分布如下：

ξ1 2 3

P1－a2a2

则实数 a的值为(　　)

A.－ B. C. D.－

解析　由随机变量 ξ的分布知

解得 a＝或 a＝.

答案　BC

4.(2020·广州调研)若随机变量 X的分布列为

X－2－1 0 1 2 3

P0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1

则当 P(X＜a)＝0.8 时，实数 a的取值范围是(　　)

A.(－∞，2] B.[1，2]

C.(1，2] D.(1，2)

解析　由随机变量 X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝

0.5，P(X＜2)＝0.8，则当 P(X＜a)＝0.8 时，实数 a的取值范围是(1，2].

答案　C

5.(2020·菏泽联考)一盒中有 12 个乒乓球，其中 9个新的、3个旧的，从盒中任取

3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X是一个随机变量，则 P(X＝

4)的值为(　　)

A. B. C. D.

解析　{X＝4}表示从盒中取了 2个旧球，1个新球，故 P(X＝4)＝＝.

答案　C

6.(2019·郑州二模)设某项试验的成功率是失败率的 2倍，用随机变量 X去描述 1

次试验的成功次数，则 P(X＝0)＝________.

解析　由已知得 X的所有可能取值为 0，1，

且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由 P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，

得P(X＝0)＝.

答案　

考点一　离散型随机变量分布列的性质

【例 1】 (1)离散型随机变量 X的概率分布规律为 P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其

中a是常数，则 P的值为(　　)

A. B. C. D.

(2)(2019·

南宁二模改编

)

设随机变量

的概率分布列为

X1 2 3 4

P m

则P(|X－3|＝1)＝________.

解析　(1)因为 P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，所以＋＋＋＝1，所以 a＝，所以 P＝

P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.

(2)由＋m＋＋＝1，解得 m＝，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.

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