10.3 二项式定理（练案）答案

3.0 envi 2025-04-15 12 4 661.21KB 2 页 3知币
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[答案]　 (１)Ｃ　 (２)Ａ　 (３)Ｃ
例２.[解析]　(１) Ｔｒ＋ １ ＝ Ｃｒ
７􀅰(２ｘ)７ － ｒ􀅰( ａ
ｘ)ｒ
＝ ２７ － ｒＣｒ
７ａｒ􀅰１
ｘ２ｒ－ ７ .令２ｒ－ ７ ＝ ３ꎬ则ｒ＝ ５.由２２
􀅰Ｃ５
７ａ５＝ ８４ 得ａ＝ １ꎬ故选 Ｃ.
(２)由题意得 Ｃ３
１０ －ａＣ２
１０ ＝ ３０ꎬ解得 ａ＝ ２ꎬ选Ｄ.
(３)由题意得:Ｃ１
ｎ︰Ｃ２
ｎ＝ ２︰５ꎬ解得 ｎ＝ ６.所以
Ｔｒ＋ １ ＝ Ｃｒ
ｎ(２ｘ) ｎ－ｒ(－１
ｘ)ｒ＝ Ｃｒ
６２６ － ｒ
(－ １)ｒｘ６ － ３
２ｒꎬ令６ － ３
２ｒ＝ ３ꎬ解得:ｒ ＝ ２.所以
ｘ３的系数为 Ｃ２
６２６ － ２ (－ １)２＝ ２４０.
[答案]　 (１)Ｃ　 (２)Ｄ　 (３)２４０
[变式训练 １]
　[答案]　 (１)７　 (２)Ｂ　 (３)Ｂ
[解析]　(１) Ｔｒ＋ １ ＝ Ｃｒ
８(３ｘ )８ － ｒ􀅰 ( １
２ｘ)ｒ＝
１
２ｒＣｒ
８ｘ８ － ４ｒ
３ꎬ由８ － ４ｒ＝ ０ 得ｒ＝ ２ꎬ故常数项为
Ｔ３＝１
２２Ｃ２
８＝ ７.
(２)依题意得ꎬｎ ＝ ８ꎬ所以展开式的通项 Ｔｒ＋ １
＝ Ｃｒ
８ｘ８ － ｒ(－２
ｘ３)ｒ＝ Ｃｒ
８ｘ８ － ４ｒ(－ ２)ｒꎬ令８ － ４ｒ
＝ ０ꎬ解得 ｒ＝ ２ꎬ所以展开式中的常数项为 Ｔ３
＝ Ｃ２
８(－ ２)２＝ １１２.
(３)( ｘ ＋ｙ) ５的展开式的通项公式为 Ｔｒ＋ １ ＝ Ｃｒ
５
􀅰ｘ５ － ｒ􀅰ｙｒꎬ令５ － ｒ＝ １ꎬ得ｒ＝ ４ꎬ令５ － ｒ＝ ２ꎬ得
ｒ＝ ３ꎬ
∴(ｘ －ｙ)( ｘ ＋ｙ)５的展开式中 ｘ２ｙ４的系数为
Ｃ４
５× １ ＋ (－ １)× Ｃ３
５＝ － ５.故选 Ｂ.
例３.[解析]　(１)由题意知 ２ｎ＝ １２８ꎬ解得 ｎ＝ ７ꎬ
∴Ｔｒ＋ １ ＝ Ｃｒ
７(２ｘ２)７ － ｒ(－１
ｘ)ｒ
＝(－ １)ｒ２７ － ｒＣｒ
７ｘ１４ － ３ｒꎬ
由１４ － ３ｒ＝ － １ꎬ得ｒ＝ ５ꎬ
∴含１
ｘ项的系数为(－ １)５２２Ｃ２
７＝ － ８４.选Ａ.
(２)由题意 ４ｎ
２ｎ＝ ６４ꎬｎ ＝ ６ꎬＴｒ＋ １ ＝ Ｃｒ
６ｘ６ － ｒ(３
ｘ)ｒ
＝ ３ｒＣｒ
６ｘ６ － ３ｒ
２ꎬ令６ － ３ｒ
２＝ ３ꎬｒ ＝ ２ꎬ３２Ｃ２
６＝ １３５ꎬ
选Ｃ.
(３)由题意ꎬ令ｘ＝ ２ 得
ａ０＋ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＋ａ５＋ａ６＝ ０ꎬ
令ｘ＝ ０ 得ａ０－ａ１＋ａ２－ａ３＋ａ４－ａ５＋ａ６
＝ １６ꎬ
两式相加得 ２(ａ０＋ａ２＋ａ４＋ａ６)＝ １６ꎬ
所以 ａ０＋ａ２＋ａ４＋ａ６＝ ８.故答案为 ８.
[答案]　 (１)Ａ　 (２)Ｃ　 (３)８
[引申]
　[答案]　 (１)２　 (２) － ８　 (３)０　 (４)５
[解析]　记ｆ( ｘ) ＝(１ ＋ ｘ２)(２ － ｘ)４ꎬ
则(１)ａ０＝ｆ(１)＝ ２.
(２)ａ１＋ａ３＋ａ５＝ｆ(２)－ｆ(０)
２＝０ － １６
２＝ － ８ꎻ
(３)(ａ０＋ａ２＋ａ４＋ａ６)２－( ａ１＋ａ３＋ａ５)２＝
ｆ(２) 􀅰ｆ(０)＝ ０ꎻ
(４)令ｘ－ １ ＝ ｔꎬ则ｘ＝ｔ＋ １ꎬ
∴ａ２为(ｔ２＋ ２ｔ＋ ２) (１ － ｔ)４展开式中 ｔ２项的
系数ꎬ又(１ － ｔ)４的通项为 Ｃｒ
４(－ｔ) ｒꎬ
∴ａ２＝ Ｃ０
４＋ ２ × (－ １)Ｃ１
４＋ ２Ｃ２
４＝ ５.
[变式训练 ２]
　[答案]　 (１)Ｃ　 (２)Ｂ
[解析]　(１)令ｘ＝ ０ꎬ则ａ０＝ １ꎻ令ｘ＝ １ꎬ则ａ０
＋ａ１＋ａ２＋􀆺＋ａ１２ ＝ ３６①ꎻ令ｘ＝ － １ꎬ则ａ０－
ａ１＋ａ２－􀆺＋ａ１２ ＝ １②.①ꎬ②两式左、右分别
相加ꎬ得２( ａ０＋ａ２＋􀆺＋ａ１２ )＝ ３６＋ １ ＝ ７３０ꎬ
所以 ａ０＋ａ２＋􀆺＋ａ１２ ＝ ３６５ꎬ又ａ０＝ １ꎬ所以 ａ２
＋ａ４＋􀆺＋ａ１２ ＝ ３６４.
(２)令ｘ＝ １ꎬ得(２ － ｘ ) ８的展开式中所有项的
系数的和为 １ꎬ又Ｃｒ
８２８ － ｒ(－ｘ ) ｒ＝
(－ １)ｒＣｒ
８２８ － ｒｘｒ
２ꎬ令ｒ
２＝ ４ꎬ得ｒ＝ ８ꎬ所以含 ｘ４
项的系数 为 (－ １)８× Ｃ８
８× ２０＝ １ꎬ所 以 (２ －
ｘ ) ８的展开式中不含 ｘ４项的系数的和为 １ －
１ ＝ ０.
例４.[解析]　(１)由于 ５１ ＝ ５２ － １ꎬ(５２ － １)２０１２
＝ Ｃ０
２０１２５２２０１２ － Ｃ１
２０１２５２２０１１ ＋􀆺－ Ｃ２０１１
２０１２５２１＋ １ꎬ
又由于 １３ 整除 ５２ꎬ所以只需 １３ 整除 １ ＋ ａꎬ０≤
ａ< １３ꎬａ∈Ｚꎬ所以 ａ＝ １２ꎬ故选 Ｄ.
(２)９０Ｃ０
１０ ＋ ９Ｃ１
１０ ＋ ９２Ｃ２
１０ ＋􀆺＋ ９１０ Ｃ１０
１０ － １ ＝ (９
＋ １)１０ － １ ＝ １０１０ － １ ＝ (１１ － １)１０ － １ ＝ １１１０ －
Ｃ１
１０ 􀅰１１９＋ Ｃ２
１０ 􀅰１１８－􀆺－ Ｃ９
１０ 􀅰１１ ＋ １ － １ ＝
１１１０ － Ｃ１
１０ 􀅰１１９＋ Ｃ２
１０ 􀅰１１８－􀆺－ Ｃ９
１０ 􀅰１１ꎬ显
然所得余数为 ０ꎬ故选 Ａ.
(３)１.０２８＝(１ ＋ ０.０２)８≈Ｃ０
８＋ Ｃ１
８􀅰０.０２ ＋
Ｃ２
８􀅰０.０２２＋ Ｃ３
８􀅰０.０２３≈１.１７２.
[答案]　 (１)Ｄ　 (２)Ａ　 (３)１.１７２
[引申]
　[答案]　 ７
[解析]　由题意原式 ＝ １０１０ － １ ＝ (８ ＋ ２)１０ －
１ ＝ ８１０ ＋ Ｃ１
１０８９􀅰２ ＋ 􀆺＋ Ｃ９
１０ ８􀅰２９＋ ２１０ － １ ＝
(８１０ ＋ Ｃ１
１０８９􀅰２ ＋ 􀆺＋ Ｃ９
１０８􀅰２９＋ ８􀅰２７－ ８)
＋ ７.∴余数为 ７.
[变式训练 ３]
　[答案]　 (１)Ｃ　 (２)０.９８９
[解析]　(１)１ － ９０Ｃ１
１０ ＋ ９０２Ｃ２
１０ － ９０３Ｃ３
１０ ＋􀆺
＋ ９０１０ Ｃ１０
１０ ＝(１ － ９０)１０ ＝ ８９１０ ＝(８８ ＋ １)１０ ＝
Ｃ０
１０８８１０ ＋ Ｃ１
１０８８９＋􀆺＋ Ｃ９
１０８８ ＋ Ｃ１０
１０ ＝ ８８ｋ＋ １( ｋ
为正整数)ꎬ所以可知余数为 １.
(２)０.９９８６＝(１ － ０.００２)６＝ １ － Ｃ１
６０.００２ ＋
Ｃ２
６０.００２２－ Ｃ３
６０.００２３＋ Ｃ４
６０.００２４－ Ｃ５
６０.００２５
＋ Ｃ６
６０.００２６≈ １ － Ｃ１
６０.００２ ＋ Ｃ２
６０.００２２＝
０.９８８ ６≈０.９８９.
名师讲坛􀅰素养提升
[变式训练 ４]
　[解析]　(１)易知 ｎ＝ ５ꎬ故展开式共有 ６项ꎬ
其中二项式系数最大的项为第三、第四两项.
所以 Ｔ３＝ Ｃ２
５(ｘ ２
３)３􀅰(３ｘ２)２＝ ９０ｘ６ꎬ
Ｔ４＝ Ｃ３
５(ｘ ２
３)２􀅰(３ｘ２)３＝ ２７０ｘ２２
３.
(２)设展开式中第 ｒ＋ １ 项的系数最大.
Ｔｒ＋ １ ＝ Ｃｒ
５(ｘ ２
３)５ － ｒ􀅰(３ｘ２)ｒ＝ Ｃｒ
５􀅰３ｒ􀅰ｘ１０ ＋ ４ｒ
３ꎬ
故有 Ｃｒ
５􀅰３ｒ≥Ｃｒ－ １
５􀅰３ｒ－ １ ꎬ
Ｃｒ
５􀅰３ｒ≥Ｃｒ＋ １
５􀅰３ｒ＋ １ ꎬ
{
即
３
ｒ≥１
６ － ｒ.
１
５ － ｒ≥３
ｒ＋ １.
{
解得 ７
２≤ｒ≤９
２.因为 ｒ∈Ｎꎬ
所以 ｒ＝ ４ꎬ即展开式中第 ５项的系数最大.
Ｔ５＝ Ｃ４
５􀅰ｘ ２
３􀅰(３ｘ２)４＝ ４０５ｘ２６
３.
[练案 ７２]
Ａ组基础巩固
１.Ｄ　 ( ｘ－１
ｘ)９的展开式的通项公式为 Ｔｒ＋ １
＝ Ｃｒ
９􀅰( ｘ)９ － ｒ􀅰( － １
ｘ)ｒ＝ ( － １) ｒ􀅰Ｃｒ
９􀅰
ｘ９ － ３ｒ
２ꎬ由９ － ３ｒ
２＝ ０ꎬ得ｒ＝ ３ꎬ∴ ( ｘ－１
ｘ)９的展
开式中的常数项为 Ｔ４＝ ( － １)３× Ｃ３
９＝ － ８４.
故选 Ｄ.
２.Ｄ　 (３ｘ－１
ｘ)６的展开式的通项公式为 Ｔｒ＋ １
＝ Ｃｒ
６􀅰( － １) ｒ􀅰３６ － ｒ􀅰ｘ６ － ３
２ｒꎬ令６ － ３
２ｒ为整
数ꎬ求得 ｒ＝ ０ꎬ２ꎬ４ꎬ６ꎬ共计 ４项.
３.Ｄ　 已知(１ ＋ ｘ)ｎ的展开式中第 ４项与第 ８项
的二项式系数相等ꎬ可得 Ｃ３
ｎ＝ Ｃ７
ｎꎬ可得 ｎ＝ ３ ＋
７ ＝ １０.(１ ＋ ｘ)１０ 的展开式中奇数项的二项式
系数和为:１
２× ２１０ ＝ ２９.故选 Ｄ.
４.Ａ　 二项展开式的通项 Ｔｒ＋ １ ＝ Ｃｒ
９ｘ９ － ｒ( － １
２ｘ)ｒ
＝ ( － １
２)ｒＣｒ
９ｘ９ － ２ｒꎬ令９ － ２ｒ＝ ３ꎬ得ｒ＝ ３ꎬ展开
式中 ｘ３的系数为( － １
２)３Ｃ３
９＝ － ２１
２.故选 Ａ.
５.Ｂ　 由(ｘ３＋２
ｘ)ｎ的展开式的各项系数和为
２４３ꎬ令ｘ＝ １ 得３ｎ＝ ２４３ꎬ 即ｎ＝ ５ꎬ ∴ ( ｘ３＋
２
ｘ)ｎ＝ (ｘ３＋２
ｘ)５ꎬ则Ｔｒ＋ １ ＝ Ｃｒ
５􀅰( ｘ３)５ － ｒ􀅰
(２
ｘ)ｒ＝ ２ｒ􀅰Ｃｒ
５􀅰ｘ１５ － ４ｒꎬ令１５ － ４ｒ＝ ７ꎬ得ｒ＝
２ꎬ∴ 展开式中 ｘ７的系数为 ２２× Ｃ２
５＝ ４０.
６.Ｃ　 令ｘ＝ １ꎬ可得 ａ＋ １ ＝ ２ꎬ所以 ａ＝ １ꎬ所以(ａｘ
＋１
ｘ)(２ｘ－ １)５＝ (ｘ＋１
ｘ)(２ｘ－ １)５ꎬ则展开
式中常数项为(２ｘ－ １)５展开式中 ｘ项的系数ꎬ
即２Ｃ４
５( － １) ４＝ １０.
７.Ｂ　 令ｘ＝ １ꎬ得ａ５＋ａ４＋ａ３＋ａ２＋ａ１＋ａ０＝ １ꎬ
①
令ｘ＝ － １ꎬ得－ａ５＋ａ４－ａ３＋ａ２－ａ１＋ａ０＝
－ ２４３ꎬ ②
① ＋ ②ꎬ得２(ａ４＋ａ２＋ａ０) ＝ － ２４２ꎬ
即ａ４＋ａ２＋ａ０＝ － １２１.
① － ②ꎬ得２(ａ５＋ａ３＋ａ１) ＝ ２４４ꎬ
即ａ５＋ａ３＋ａ１＝ １２２.
所以 ｜ａ０｜ ＋ ｜ ａ１｜ ＋ 􀆺 ＋ ｜ ａ５｜ ＝ １２２ ＋ １２１ ＝
２４３.故选 Ｂ.
８.Ｂ　 Ｔｒ＋ １ ＝ Ｃｒ
ｎ(３ｘ)ｎ－ｒ􀅰ｘ－３
２ｒ＝ Ｃｒ
ｎ􀅰３ｎ－ｒ􀅰
ｘｎ－５ｒ
２(ｒ＝ ０ꎬ１ꎬ２ꎬ􀆺ꎬｎ)ꎬ若Ｔｒ＋ １ 是常数项ꎬ则
有ｎ－５
２ｒ＝ ０ꎬ即２ｎ＝ ５ｒ(ｒ＝ ０ꎬ１ꎬ􀆺ꎬｎ)ꎬ当
ｒ＝ ０ꎬ１ 时ꎬｎ＝ ０ꎬ ５
２ꎬ不满足条件:当ｒ＝ ２ 时ꎬ
ｎ＝ ５ꎬ故选 Ｂ.
９.Ｂ　 (１ － ｘ)９的展开式的通项公式为 Ｔｒ＋ １ ＝
Ｃｒ
９( － ｘ)ｒꎬ故所求 ｘ４项的系数为 Ｃ４
９－ ( － １)
Ｃ１
９＝ １３５.故选 Ｂ.
１０.５
２　 (ｘ－１
２ｘ)５的展开式的通项为
Ｔｒ＋ １ ＝ Ｃｒ
５ｘ５ － ｒ( － １
２ｘ)ｒ＝ ( － １
２)ｒＣｒ
５ｘ５ － ３ｒ
２.
令５ － ３ｒ
２＝ ２ꎬ可得 ｒ＝ ２.
所以(ｘ－１
２ｘ)５的展开式中的 ｘ２的系数为
( － １
２)２Ｃ２
５＝５
２.
１１.１或－４
５　根据题意ꎬ( ｘ＋ａ)６的展开式的
通项为 Ｔｒ＋ １ ＝ Ｃｒ
６ｘ６ － ｒａｒꎬ其中当 ｒ＝ １ 时ꎬ有
Ｔ２＝ Ｃ１
６ｘ５ａꎬ当ｒ＝ ２ 时ꎬ有Ｔ３＝ Ｃ２
６ｘ４ａ２ꎬ则(２ｘ
－ １)(ｘ＋ａ)６的展开式中 ｘ５的系数为 － Ｃ１
６ａ
＋ ２Ｃ２
６ａ２＝ － ６ａ＋ ３０ａ２ꎬ则 有 － ６ａ＋ ３０ａ２＝
２４ꎬ可得 ５ａ２－ａ－ ４ ＝ ０ꎬ∴ ( ａ－ １) (５ａ＋ ４) ＝
０ꎬ∴ ａ＝ １ 或ａ＝ － ４
５.
１２.－ ２　 Ｔｒ＋ １ ＝ａ５ － ｒＣｒ
５ｘ１０ － ５
２ｒꎬ令１０ － ５
２ｒ＝ ５ꎬ
解之得 ｒ＝ ２ꎬ所以 ａ３Ｃ２
５＝ － ８０ꎬａ＝ － ２.
１３.１８０　 令１ － ｘ＝ｔꎬ则ｘ＝ １ － ｔꎬ
∴ (２ － ｔ)１０ ＝ａ０＋ａ１ｔ＋ａ２ｔ２＋􀆺＋ａ１０ ｔ１０ ꎬ
由Ｔｒ＋ １ ＝ Ｃｒ
１０２１０ － ｒ( － ｔ)ｒ知ｒ＝ ８ 时ꎬ
ａ８＝ ２２Ｃ８
１０ ( － １)８＝ １８０.
Ｂ组能力提升
１.１６ ２ 　 ５ 　 ( ２ ＋ ｘ)９展开式的通项 Ｔｒ＋ １ ＝
Ｃｒ
９( ２ )９ － ｒｘｒ＝ Ｃｒ
９􀅰２９ － ｒ
２􀅰ｘｒ(ｒ＝ ０ꎬ１ꎬ２ꎬ􀆺ꎬ
９)ꎬ令ｒ＝ ０ꎬ得常数项 Ｔ１＝Ｃ０
９􀅰２ ９
２􀅰ｘ０＝ ２ ９
２
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋
—１４５—
10.3 二项式定理（练案）答案.pdf

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