8.6.1直线与直线垂直（教案）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

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第八章立体几何初步

8.6.1 直线与直线垂直

一、教学目标

1. 掌握空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会画出异面直线．

2.能运用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简

单异面直线所成的角．

3.通过对直线与直线垂直的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养.

二、教学重难点

1.理解异面直线所成角的定义以及证明两直线垂直;

2.会求两异面直线所成的角.

三、教学过程：

（1）创设情景

空间两条直线如果不平行就一定相交吗？你能找出两条既不平行又不相交的例子吗？

学生回答，教师点拨 (提出本节课所学内容异面直线)

（2）新知探究

问题 1:垂直于同一条直线的两条直线，有几条种位置关系？

学生回答(相交、异面、平行）教师点拨

问题 2:已知 a 和 b 是异面直线，a 和 c 是异面直线，那么 b 和 c 也是异面直线吗？

学生回答（不一定），教师点拨

（3）新知建构

异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a，b,经过空间任一点 O 作直线 a′//a，b

′//b,则把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).

异面直线所成的角：

设 a，b 是两条异面直线，经过空间任意一点 O，作直线，则把直线

所成的锐角或直角叫做异面直线 a，b 所成的角．

特例当异面直线 a，b 所成的角为 90°时，则称这两条异面直线是互相垂直的；记为

a⊥b．

异面直线所成角的范围：

（4）数学运用

例 1.如图，已知正方体 ABCDA′B′C′D′.

(1)哪些棱所在直线与直线 BA′是异面直线？

(2)直线 BA′和 CC′的夹角是多少？

(3)哪些棱所在的直线与直线 AA′垂直？

【解析】(1)由异面直线的定义可知，棱 AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线

分别与直线 BA′是异面直线．

(2)由 BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线 BA′与 CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所

以直线 BA′和 CC′的夹角为 45°.

(3)直线 AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线 AA′垂直．

变式训练 1:如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G 分别是

DD1，AB，CC1的中点，则异面直线 A1E 与 GF 所成角为( )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图，连接 B1G,B1F ．

则异面直线 A1E 与 GF 所成角为∠B1GF． △B1GF 中，得

∠B1GF= . 故选:D

例 2.空间四边形 ABCD，E，F，G 分别是 BC，AD，DC 的中点，FG＝2，GE＝，

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