7.3.2第3课时正切函数的图象与性质-【新教材】苏教版（2019）高中数学必修第一册教学案（学生版+教师版）

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编号：048 课题:§7.3.2 正切函数的图象与性质 第 3 课时
目标要求
1. 理解并掌握正切函数的图象与性质；
2. 会求正切函数的定义域、周期性、奇偶性；
3. 掌握正切函数的单调性及应用；
4. 理解并掌握正切函数图象、性质的综合应用．
重点难点
重点：正切函数的单调性及应用；
难点：正切函数图象、性质的综合应用．
教学过程
基础知识点
正切函数的图象与性质
(1)图象与性质
解析式 y=tan x
图象
定义域
值域 R
周期 π
奇偶性 __________函数
对称
中心
_____________,k∈Z
单调性 在每一个区间___________________________
上都单调递增
(2)本质:根据正切函数的解析式、图象,总结正切函数的性质.
(3)应用:画正切函数的图象,解决关于正切函数的定义域、值域、单调性等问题.
【思考】
正切函数在整个定义域上都是增函数吗?
【课前基础演练】
题 1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A.正切函数的定义域和值域都是 R.
B.正切函数是中心对称图形,对称中心是原点.
C.存在某个区间,使正切函数在该区间上是单调递减的.
D.函数 的一个单调递减区间是 .
题 2.若 的周期为 1,则 的值为 ( )
1
A. B. C. D.
题 3.函数 的定义域为________.
关键能力·合作学习
类型一 正切函数的定义域、周期性、奇偶性(数学抽象)
【题组训练】
例4.　求函数 y＝＋lg(1－tan x)的定义域．
小结　求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角
函数的图象或三角函数线．
跟踪训练 5.　求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝lg(－tan x)．
例6.　求函数 y＝tan 的单调区间及最小正周期．
小结　y＝tan(ωx＋φ) (ω>0)的单调区间的求法即是把 ωx＋φ看成一个整体，解－＋
kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当 ω<0 时，先用诱导公式把 ω化为正值再求单调区间．
跟踪训练 7.　求函数 y＝tan 的单调区间．
例8.　利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小：
(1)tan 与tan；
(2)tan 2 与tan 9.
小结　比较两个函数值的大小，只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单调
区间内，再借助单调性即可．正切函数的单调递增区间为，k∈Z.故在和上都是增函数．
跟踪训练 9.　比较下列两组函数值的大小．
(1)tan(－1 280°)与tan 1 680°；(2)tan 1，tan 2，tan 3.
2
题10．函数 y＝3tan(2x＋)的定义域是________．
题11．函数 f(x)＝tan(x＋)的单调递增区间为________．
题12．在下列函数中同时满足：①在上递增；②以 2π 为周期；③是奇函数的是________
(写出相应函数的序号)．
①y＝tan x　② y＝cos x
③y＝tan 　④ y＝－tan x
题13．函数 y＝3tan 的对称中心的坐标是________．
1．正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为 x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有
一支正切曲线，且单调递增．
2．正切函数的性质
(1)正切函数 y＝tan x的定义域是，值域是 R.
(2)正切函数 y＝tan x的最小正周期是 π，函数 y＝Atan(ωx＋φ) (Aω≠0)的周期为 T＝.
(3)正切函数在(k∈Z)上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间．
课堂习题演练
一、填空题
题14．函数 y＝的定义域是____________．
题15．函数 y＝3tan(ωx＋)的最小正周期是，则 ω＝____.
题16．函数 y＝tan，x∈R且x≠π＋kπ，k∈Z离坐标原点最近的对称中心的坐标是_______
_．
题17．下列函数中，在上单调递增，且以 π为周期的偶函数是________．
①y＝tan|x|　② y＝|tan x|　③ y＝|sin x|　④ y＝cos 2x
题18．下列各式中正确的是________(写出正确的所有序号)．
①tan 735°>tan 800°　　　② tan 1>－tan 2
③tan<tan ④tan <tan
3
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