7.3.2第2课时正弦函数、余弦函数的性质-【新教材】苏教版（2019）高中数学必修第一册教学案（学生版+教师版）

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编号：047 课题:§7.3.2 正弦函数、余弦函数的性质第 2 课时

目标要求

1. 理解并掌握正弦曲线、余弦曲线的性质；

2. 会求正弦函数、余弦函数的单调区间；

3. 会利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小；

4. 会求正弦函数、余弦函数的值域和最值．

重点难点

重点：正弦函数、余弦函数的单调性比较大小；

难点：正弦函数、余弦函数的值域和最值．

教学过程

基础知识点

正弦函数、余弦函数的性质

(1)图象与性质

解析式 y=sin x y=cos x

图象

值域 __________ ____________

单调性在

上单调递增,

在

上单调递减

在_________________

上单调递增,

在__________________

上单调递减

最值 x=___________________时, ;

x=__________________时,

x=______________________时,

;

x=_____________________时,

(2)本质:函数的单调递增、单调递减是描述图象上升、下降的性质.

(3)应用:求函数的单调区间、函数的最值及取得最值时自变量 x的值.

【思考】从图象的变化趋势来看,正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置?

【课前基础演练】

题 1.（多选）下列命题正确的是 ( )

A. y=sin x在上单调递增.

B.存在满足 .

C.在区间[0,2π]上,函数 y=cos x仅当 x=0 时取得最大值 1.

D.函数 y=cos x与y=cos(-x)的值域相同.

题 2.函数 y=2-sin x取得最大值时,x的取值集合为________.

题 3.若 cos x=m-1 有意义,则 m的取值范围是________.

类型一正弦函数、余弦函数的单调区间(数学运算)

【题组训练】

例4　判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝sin；

(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；

(3)f(x)＝.

小结　判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对

称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断 f(－x)与f(x)之间的关系．

跟踪训练 6　判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝cos＋x2·sin x；

(2)f(x)＝＋.

例7　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．

(1)sin 196°与cos 156°；(2)cos 与cos.

小结　用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单

调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．

跟踪训练 8　比较下列各组数的大小：

(1)sin 与sin π；(2)cos 870°与sin 980°.

例9.　求函数 y＝cos2x＋4sin x的最值及取到最大值和最小值时的 x的集合．

小结　形如 f(x)＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的函数值域问题，可以通过换元转化为二次函

数g(t)＝at2＋bt＋c在闭区间[－1,1]上的最值问题．要注意，正、余弦函数值域的有界

性，即当 x∈R时，－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1对值域的影响．

跟踪训练 10.　若函数 y＝a－bcos x(b>0)的最大值为，最小值为－，求函数 y＝－4acos

bx 的最值和最小正周期．

题11．函数 y＝cos2x＋2sin x的最小值等于________．

题12．函数 y＝cos，x∈的值域是________．

题13．求下列函数的单调增区间．

(1)y＝1－sin ；

(2)y＝logcos.

题14．判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝coscos(π＋x)；

(2)f(x)＝＋；

(3)f(x)＝.

1．三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提，图象上表现为横向伸展范围，解析式上

表现为要使解析式有意义．

2．求函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法是：

把ωx＋φ看成一个整体，由 2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)解出 x的范围，所得区间即为

增区间，由 2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π (k∈Z)解出 x的范围，所得区间即为减区间．若

ω<0，先利用诱导公式把 ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．

3．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数

值的大小比较，再利用单调性作出判断．

4．求三角函数值域或最值的常用求法

将y表示成以 sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函

数的单调性等来确定 y的范围．

课堂习题演练

一、填空题

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