7.3.1三角函数的周期性-【新教材】苏教版（2019）高中数学必修第一册教学案（学生版+教师版）

3.0 envi 2025-04-15 4 4 2.06MB 10 页 3知币

侵权投诉

编号：045 课题:§7.3.1 三角函数的周期性

目标要求

1. 理解并掌握函数的周期性；

2. 会求正弦函数、余弦函数的周期；

3. 会利用函数的周期求值；

4. 掌握函数周期性的综合应用问题．

重点难点

重点：利用函数的周期求值；

难点：函数周期性的综合应用．

教学过程

基础知识点

1.函数的周期性

(1)周期函数:设函数 y=f(x)的定义域为 A,如果存在一个非零常数 T,使得对于任

意的 x∈A,都有 x+T∈A,并且 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫作周期函数,非零

常数 T叫作这个函数的周期.

(2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的________,那么这个最小

的正数就叫作 f(x)的最小正周期.

(3)本质:函数值随着自变量的取值周期性出现相同的函数值.

(4)应用:函数的周期性是函数的重要性质,是高考中常见的考查知识点,在生活中也有很多

的应用.

【思考】

周期函数都有最小正周期吗?

提示:周期函数不一定存在最小正周期.例如,对于常数函数 f(x)=c(c为常数,x∈R),所有非

零实数 T都是它的周期,而最小正周期是不存在的,所以常数函数没有最小正周期.

2.正、余弦函数的周期

一般地,函数 y=Asin(ωx+φ)及 y=Acos(ωx+φ)(其中 A,ω,φ为常数,

且A≠0,ω>0)的周期为______.

【思考】当函数 y=Asin(ωx+φ)中,ω<0 时,函数的周期是多少?

【课前基础演练】

题 1.（多选）下列命题正确的是 ( )

A.若 ,则是函数的一个周期.

B.若存在正数 T,使 f(x+T)=-f(x),则函数 f(x)的周期为 2T.

C. 是函数的一个周期.

D.周期函数的周期只有唯一一个.

题 2.函数的最小正周期是 ( )

A. B. C. D.

题 3.若函数 f(x)(x∈R)的图象如图所示.

则该函数的周期为 ( )

A.1 B.2 C.2.5 D.5

关键能力·合作学习

类型一求三角函数的周期(数学运算)

【题组训练】

题 4.函数的最小正周期为 ( )

A. B. C. D.

题 5.函数的最小正周期为 ( )

A. B. C. D.

题 6.函数的最小正周期为______________.

【解题策略】

求三角函数周期的方法

(1)定义法:找一个非零常数 T,使得定义域内的每一个 x,都有 f(x+T)=f(x),

那么这个函数的周期为 T.

(2)公式法:将函数化为 y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式,再利用求得.

(3)图象法:利用变换的方法或作出函数的图象,通过观察得到周期.

【补偿训练】

题 7.下列是定义在 R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是 ( )

题 8.函数的最小正周期为________.

【拓展延伸】根据周期函数定义求周期

(1)若函数 y=f(x)(x∈R)的图象关于 x=a,x=b(b>a)都对称,则 f(x)是周期函数且 2(b-a)是它

的一个周期.

(2)已知 f(x+a)=-f(x)(a>0),由定义可证得 f(x)为周期函数,2a是它的一个周期.

(3)若 ,则 f(x)为周期函数,2a是它的一个周期.

【拓展训练】

题 9.已知 ,求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期.

题 10.已知函数 f(x)( )满足 f(n+2)=f(n+1)-f(n),求证:f(x)是周期函数,并求出它的

一个周期.

类型二利用函数的周期性求值(逻辑推理、数学运算)

【典例 11】定义在上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是 π,且

当时, ,求的值.

【变式探究】

题 12. 定义在上的函数 f(x)既是奇函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是 π,且当

时, ,求的值.

题 13. 定义在上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是 π,且当

时, ,求的值.

类型三函数周期性的综合应用(逻辑推理)

【典例 14】设函数 f(x)( )是以 2 为周期的函数,且 x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2.

(1)求 f(3);

(2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式.

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

3 知币 4人已下载

立即下载

7.3.1三角函数的周期性-【新教材】苏教版（2019）高中数学必修第一册教学案（学生版+教师版）.doc

共10页,预览3页

还剩页未读，继续阅读

7.3.1三角函数的周期性-【新教材】苏教版（2019）高中数学必修第一册教学案（学生版+教师版）

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择: