7.1复数的概念-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（机构专用）

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7.1 复数的概念

1、复数的有关概念

(1)复数的概念：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中 a，b分别是它的实部和虚部．若 b＝0，则 a＋bi为实数，若

b≠0，则 a＋bi为虚数，若 a＝0且b≠0，则 a＋bi为纯虚数．

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(4)复数的模：向量OZ的模 r叫做复数 z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝.

2、复数的几何意义

复数 z＝a＋bi复平面内的点 Z(a，b)平面向量OZ＝(a，b)．

题型一复数的概念

例 1 　实数取怎样的值时，复数是：

（1）实数？

（2）虚数？

（3）纯虚数？

【答案】（1）或；（2）且；（3） .

【分析】

根据实部和虚部的不同取值决定何时是实数、虚数和纯虚数.

【详解】

（1）若，则为实数，此时或者 .

（2）若，则为虚数，此时且 .

（3）若，则为纯虚数，此时 .

知识梳理

知识典例

若复数是纯虚数，则实数的值为（）

A．1 B．2 C．1或2 D．-1

【答案】B

【解析】

由得，且，．

题型二基本概念

例 2 　（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（）

A．纯虚数的共轭复数是 B．若，则

C．若，则与互为共轭复数 D．若，则与互为共轭复数

【答案】AD

【分析】

A．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分

可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D. 根据，得到，再用共轭复数的定义判

断.

【详解】

A．根据共轭复数的定义，显然是真命题；

B．若，则，当均为实数时，则有，当，是虚数时，，所以 B是假命题；

C．若，则可能均为实数，但不一定相等，或与的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以

C是假命题；

D. 若，则，所以与互为共轭复数，故 D是真命题.

故选：AD

巩固练习

（多选）已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数 z满足，下列结论正确

的是（）

A．点的坐标为 B．复数的共轭复数对应的点与点关于虚轴对称

C．复数 z对应的点 Z在一条直线上 D．与 z对应的点 Z间的距离的最小值为

【答案】ACD

【分析】

根据复数对应的坐标，判断 A选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断 B选项的正确性.设

出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读 C选项的正确性.结合 C

选项的分析，由点到直线的距离公式判断 D选项的正确性.

【详解】

复数在复平面内对应的点为，A正确；

复数的共轭复数对应的点与点关于实轴对称，B错误；

设，代入，得，即，整

理得，；即 Z点在直线上，C正确；

易知点到直线的垂线段的长度即为、Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为

，故 D正确.

故选：ACD

题型三模

例 3 　已知复数，且，则实数的取值范围是_____________.

巩固练习

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