7.1.1 数系的扩充和复数的概念（教案）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

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第七章复数

7.1.1 数系的扩充和复数的概念

一、教学目标

1. 了解数系的扩展过程以及虚数单位 i 的引入；

2.理解复数的基本概念、表示法及相关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚

部)；

3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件；

4.通过对数系的扩充和复数的概念的学习，培养学生数学抽象、数学运算、直观想象等数

学素养。

二、教学重难点

1.对虚数单位 i 的规定以及复数的有关概念；

2.虚数单位 i 的引入以及复数概念的理解。

三、教学过程：

1、创设情境：

（阅读）数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采

集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了 1，2，3，4等数以及表示“没有”的数 0.自

然数的全体构成自然数集 N

奎屯

王新敞

新疆

随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展

奎屯

王新敞

新疆

为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示

各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理

数集 Q.显然 N Q.如果把自然数集(含正整数和 0)与负整数集合并在一起，构成整数集 Z，

则有 Z Q、N Z.如果把整数看作分母为 1的分数，那么有理数集实际上就是分数集

奎屯

王新敞

新疆

有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用

有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.

有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集 R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、

有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集

奎屯

王新敞

新疆

因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也

解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除

的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾 .但是，

数集扩到实数集 R以后，数集是否完整？

问题 1.对于实系数一元二次方程，在实数集中我们无法解决．通过以上阅读我

大胆地想象一下，能否再次将实数集进行扩充，使得在新的数集中，这个问题能得到圆满

解决？

2、建构数学

1.复数的相关概念：

(1)．虚数单位（两个规定）

引入新数，并规定：

① ；

②实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．

叫做虚数单位。

(2).复数的定义：形如 a+bi(a、b∈R)的数叫做复数，全体复数所成的集合叫做复数集，

一般用字母C表示.

(3).复数的表示（代数）形式：

复数通常用字母 z 表示，即 z=a+bi（a、b R）其中a叫复数 z的实部，b叫复数 z的虚部.

练习1.将下列式子化为 a+bi（a、b R）的形式，并分别指出它们的实部和虚部

(1)2-i ；(2)2i+3; (3)-2i ；(4)0.

生答:(1)2-i =2+(-1)i，实部 2，虚部-1；

(2)2i+3=3+2i,实部 3，虚部 2；

(3)-2i =0+（-2）i ，实部 0，虚部-2；

（4）0=0+0i ，实部 0，虚部 0。

问题 2.复数 z=a+bi（a、b R）满足什么条件是实数？

生答:当 b=0 时，则复数为实数。

(4). 复数的分类：

z＝a＋bi(a，b∈R)

练习2.写出复数的实部和虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，

那些是纯虚数。

生答: 的实部是 2,虚部是-3,它是虚数;4 的实部是 4,虚部是 0,它是实数;

的实部是 ,虚部是 ,它是虚数;的实部是 0,虚部是 6,它是纯虚数;

练习3.设，“ ”是“复数是纯虚数”的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】当 a=0 时，如果 b=0，此时是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；

而如果已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到 a=0，因此是必要条

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