6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（教案）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册

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第六章平面向量及其应用

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示

一、教学目标

1.掌握平面向量数量积的坐标表示；

2.会运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题；

3.通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学抽象、数学运算等数学素养。

二、教学重难点

1．理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的

运算．

2．能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式．

3．能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．

三、教学过程：

1、复习回顾

平面向量的数量积以及向量线性坐标运算

2.探索新知

问题 1.过对平面向量的数量积以及向量线性坐标运算的学习，你能否已根据两个非零

向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，用 a和b的坐标表示 a·b?

生答：记a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

∴a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j

∴a·b＝(x1i＋y1j)(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y1j2＝x1x2＋y1y2

重要结论：平面向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝ x1x2＋y1y2 ，即两个向量的数

量积等于它们对应坐标的乘积的和．

问题 2.小组合作，请大家利用平面向量的数量积的坐标表示推导出向量模的坐标表示、

两向量垂直的坐标表示以及两向量夹角的余弦公式？

生 1 答：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)

则a⊥b a·b＝0x1x2＋y1y2＝0

生2答：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔a·b＝|a||b|cos900＝0

生 3 答：设θ是a与b的夹角，则 cos θ＝＝.

重要结论：平面向量坐标表示的几个公式

(1)向量模的坐标表示

若a＝(x，y)，则|a|2＝ x2＋y2 ，或|a|＝.

(2)两向量垂直的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 .

(3)两向量夹角的余弦公式

设a，b是两个非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则 cos θ＝＝

3.数学运用

例1.(1)已知向量，，若，则 =________

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