6.2.4向量的数量积（教案）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册

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第六章平面向量及其应用

6.2.4 向量的数量积

一、教学目标：

1、知识与技能：

通过物理中“功”的实例，理解平面向量数量积的含义，掌握平面向量数量积的性质.

2、过程与方法：

经历从物理背景的分析，抽象概况出概念的过程，培养学生归纳概括、类比迁移的能力；

经历通过不同的方式探究、发现平面向量数量积性质的过程，体会从特殊到一般、分类讨

论、数形结合的数学思想方法.

3、情感、态度、价值观：

通过师生互动，生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会各学科之间的

密切联系，感受知识的形成过程，提高数学学习的兴趣，形成独立自主的钻研精神和合作

学习的科学态度.

二、教材分析：

重点：平面向量数量积的概念和性质.

难点：平面向量数量积的性质的发现.

三、教学策略：

启发式和问题探究相结合。

四、教学过程：

（一）创设情境展示背景

如图小车在力 F的作用下移动了一段位移是 S，力和位移的夹角为 θ，从物理的角度来

看其实质是什么？

（二）分析背景形成概念

群答：力对物体做功，力对物体做功，

问题 1：图中力对物体所做的功是多少？





（可能学生回答 ,引导学生回答图中的力对物体所做的功是多少？）

这里的 θ是什么？

生1：力和位移的夹角

问题 2：影响力对物体所做的功的因素有哪些？

群答：力 F、位移 S、力和位移的夹角 θ

问题 3：像力 F、位移 S这些量在物理上我们称做什么量？大家回答看看

群答：矢量

问题 4：很好！类比矢量在数学上我们把既有大小又有方向的量称为什么量？

群答：向量

问题 5：那我们用数学的眼光来看这是向量的一种什么运算？我们看等式的左边是什么

量？

群答：标量

问题 6：在数学上我们称为什么量？

群答：数量

从求功的运算中，能否抽象出某种数学运算？(课件展示)

生5：

问题 7：下面大家注意了，像这种向量运算前面我们学习了好几种，对不对？有向量的

加法、减法、数乘，这些运算的结果都是什么量？

群答：向量

这种运算的结果是数量，跟以往不同。我们今天这节课就是从力的做功公式出发来引进

向量的一种新的运算，你能否给这种运算起个名称？大家想想看，取什么名字好！

生6：向量的积

问题 7：太好了，这里的确是向量的积的运算。有没有人对这种运算有其他名字?

生8：向量的数量积

问题 9：太棒了!大家觉得好不好！。。。。从结果来看是一个数量。还有吗？

生9:平面向量的数量积.

师:简直太牛了!

(由力对物体做功公式类比得出平面向量的数量积)

师: 我们知道功运算中除了力和位移，还有一个夹角 θ，物理上称为力和位移的夹角,在

数学上我们称为向量的夹角，下面我们来看书本给出的向量夹角的定义:

向量的夹角：

已知两个非零向量和，作 =，=，则

叫做向量与的夹角．

问题 10：两个非零向量的夹角的范围是什么?

(课件展示)

当且仅当两非零向量、同方向时θ= ；

生10:

当且仅，反方向时，θ= ；

生11:

以上统称为

当θ= ，称与垂直，记作⊥.

规定：

试一试：

如图：正中，求

（1）与的夹角；

（2）与的夹角。

A B

答案为：（1），（2）

向量的夹角注意点：1.向量要共起点

2.角的范围

3.几个特殊角

下面正式给出向量数量积的定义:

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