5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 教师版

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正弦函数、余弦函数的性质
要点 一：周期函数的定义
函数 ，定义域为 I，当 时，都有 ，其中 T是一个非零的常数，则
是周期函数，T是它的一个周期.
要点 二：正弦函数、余弦函数的图象和性质
函数 正弦函数 y＝sinx 余弦函数 y=cosx
定义域 R R
值域 [-1，1] [-1，1]
奇偶性 奇函数 偶函数
周期性 最小正周期 最小正周期
单调区间
k∈Z
增区间：
减区间：
增区间：
减区间：
最值点
k∈Z
最大值点
最小值点
最大值点
 
2 1k
，
最小值点
 
2 , 1k
 
 
对称中心
k∈Z
( ,0)
2
k
对称轴
k∈Z
1
要点 三：正弦型函数 和余弦型函数 的性质
函数 与函数 可看作是由正弦函数 ，余弦函数
复合而成的复合函数，它们的性质可由正弦函数 ，余弦函数 类似地得到：
（1）定义域：
（2）值域：
（3）单调区间：求形如 与函数 的函数的单调区间可以
通过解不等式的方法去解答，即把 视为一个“整体”，分别与正弦函数 ，余弦函数
的单调递增（减）区间对应解出 ，即为所求的单调递增（减）区间。
比如：由 解出 的范围所得区间即为增区间，
由 解出 的范围，所得区间即为减区间。
（4）奇偶性：
对于函数 ，当 时为奇函数，当 时为偶函数；
对于函数 ，当 时为偶函数，当 时为奇函数。
（5）周期：函数 及函数 的周期与解析式中自变量 的系数有关，
2
其周期为 。
（6）对称轴和对称中心
与正弦函数 比较可知，当 时，函数 取得最大
值（或最小值），因此函数 的对称轴由 解出，其对称中心
的横坐标 ，即对称中心为 。
同 理 ， 的 对 称 轴 由 解 出 ， 对 称 中 心 的 横 坐 标 由
解出。
【典型例题】
类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域
例1．求函数 的定义域；
【解析】 为使函数有意义，需满足 2sin2x+cos x－1≥0，即 2cos2x―cos x―1≤0，解得 。
画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示。
∴定义域为 。
3
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