5.1 任意角和弧度制 教师版高中数学必修第一册讲义

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任意角和弧度制
要点一：任意角的概念
1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
正角:按逆时针方向旋转所形成的角.
负角:按顺时针方向旋转所形成的角.
零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.
2.终边相同的角、象限角
终边相同的角为
角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我
们就说这个角是第几象限角.
要点诠释：
(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；
(2)终边相同的角有无数多个，它们相差 的整数倍.
3．常用的象限角
角的终边所在位置 角的集合
x轴正半轴
y轴正半轴
x轴负半轴
y轴负半轴
x轴
y轴
1
坐标轴
是第一象限角，所以
是第二象限角，所以
是第三象限角，所以
是第四象限角，所以
要点二：弧度制
1．弧度制的定义
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度角，记作 1，或 1弧度，或 1(单位可以省略不
写).
2．角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
1rad= ≈57.30°=57°18′，1°= ≈0.01745(rad)
3．弧长公式： (是圆心角的弧度数)，
扇形面积公式： .
要点诠释：
(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如 等等，一般地, 正角的弧度数是
一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.
(2)角 的弧度数的绝对值是： ，其中， 是圆心角所对的弧长， 是半径.
2
【典型例题】
类型一：终边相同的角的集合
例1．在与 10030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角。
（1）最大的负角；（2）360°～720°内的角。
【解析】（1）与 10030°角终边相同的角的一般形式为 =k·360°+10030°（k Z∈），
由－360°＜k·360°+10030°≤0°，得－10390°＜k·360°≤－10030°，解得 k=―28，
故所求的最大负角为 =―50°
（2）由 360°≤k·360°+10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜―9310°，解得 k=―26。故所求的角为
=670°
例2．已知 、 的终边有下列关系，分别求 、 间的关系式。
（1） 、 的终边关于原点对称；
（2） 、 的终边关于 x轴对称；
（3） 、 的终边关于 y轴对称。
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