4.5.2复合函数的零点问题 较难 教师版

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复合函数的零点问题 较难
1．复合函数定义：设 ， ，且函数 的值域为 定义域的子集，那么 通过
的联系而得到自变量 的函数，称 是 的复合函数，记为 ．
2．复合函数函数值计算的步骤：求 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值．
例如：已知 ，计算 ．
【解析】 ， ．
3．已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到
求出 的值．例如：已知 ， ，若 ，求 ．
4．函数的零点：设 的定义域为 ，若存在 ，使得 ，则称 为 的一
个零点．
5．复合函数零点问题的特点：考虑关于 的方程 根的个数，在解此类问题时，要分为两
层来分析，第一层是解关于 的方程，观察有几个 的值使得等式成立；第二层是结合着第一
层 的值求出每一个 被几个 对应，将 的个数汇总后即为 的根的个数．
Ⅰ．题型攻略·深度挖掘
【技能方法】
求解复合函数 零点问题的技巧：
（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出 的图像
（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于 的方程 中 解的个数，再
根据个数与 的图像特点，分配每个函数值 被几个 所对应，从而确定 的取值范围，
1
进而决定参数的范围．
1．函数零点—忽视单调性的存在．例如：若函数 f(x)在区间[－2，2]上的图象是连续不断的曲线，
且f(x)在(－2，2)内有一个零点，则 f(－2)·f（2）的值 (　　)
A．大于 0 B．小于 0 C．等于 0 D．不能确定
解答：若函数 f(x)在(－2，2)内有一个零点，该零点可分两种情况：（1）该零点是变号零点，
则f(－2)·f（2）<0；（2）该零点是非变号零点，则 f(－2)·f（2）>0，因此选 D．
Ⅱ．举一反三·触类旁通
【例 1】函数 满足 ，且当 时， ．若函数 的图象与函数
（ ，且 ）的图象有且仅有 4个交点，则 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【例 2】已知函数 若关于 的方程 有 3个实数根，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作图如下：
因此要使方程 有 3个，实数 的取值范围是 ，选 D．
【例 3】已知函数 ，若函数 有三个不同的零点，则实
2
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
A（0，﹣2），B（3，1），C（4， 0），则 g（x）的图象介于直线 AB 和AC 之间，介于 kAB＜m＜
kAC，可得 ＜m＜1．故答案为：（ ，1）．
【例 4】已知函数 ，则 的零点个数是（
）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】解：令 t=f（x），F（x）=0，则 f（t）﹣2t﹣=0，
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