4.5.2 复合函数的零点问题 中等 教师版

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复合函数的零点问题 中等
1．复合函数定义：设 ， ，且函数 的值域为 定义域的子集，那么 通过
的联系而得到自变量 的函数，称 是 的复合函数，记为 ．
2．复合函数函数值计算的步骤：求 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值．
例如：已知 ，计算 ．
【解析】 ， ．
3．已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到
求出 的值．例如：已知 ， ，若 ，求 ．
4．函数的零点：设 的定义域为 ，若存在 ，使得 ，则称 为 的一
个零点．
5．复合函数零点问题的特点：考虑关于 的方程 根的个数，在解此类问题时，要分为两
层来分析，第一层是解关于 的方程，观察有几个 的值使得等式成立；第二层是结合着第一
层 的值求出每一个 被几个 对应，将 的个数汇总后即为 的根的个数．
Ⅰ．题型攻略·深度挖掘
【技能方法】：求解复合函数 零点问题的技巧：
（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出 的图像
（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于 的方程 中 解的个数，再
根据个数与 的图像特点，分配每个函数值 被几个 所对应，从而确定 的取值范围，
进而决定参数的范围．
【易错指导】
1
1．函数零点—忽视单调性的存在．例如：若函数 f(x)在区间[－2，2]上的图象是连续不断的曲线，且
f(x)在(－2，2)内有一个零点，则 f(－2)·f（2）的值 (　　)
A．大于 0 B．小于 0 C．等于 0 D．不能确定
解答：若函数 f(x)在(－2，2)内有一个零点，该零点可分两种情况：（1）该零点是变号零点，则 f(－
2)·f（2）<0；（2）该零点是非变号零点，则 f(－2)·f（2）>0，因此选 D．
【典型例题】
类型一：关于函数的零点与方程根的关系问题
例1．若函数 在区间 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，不存在实数 使得 ；
B．若 ，存在且只存在一个实数 使得 ；
C．若 ，有可能存在实数 使得 ；
D．若 ，有可能不存在实数 使得 ．
【答案】 C 【解析】对于 A选项：可能存在；对于 B选项：必存在但不一定唯一
举一反三：
【变式 1】函数 f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是 (　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
【答案】B 【解析】∵f(0)＝1>0，f(－1)＝<0
例2．求函数 f(x)＝lnx＋2x－6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n，n+1](n∈Z)．
【答案】1 （2，3）
【解析】分别作出函数 和 的图象可知．如下图：
2
【变式 1】已知函数 ，当 时，
函数 的零点 ,则 ．
【答案】2【解析】用数形结合法，由已知得：
作出 及 的图象，作出 及
由图象可知，当 内变动， 内变动时，显然对数函数图象与直线 的公
共点皆在区间 内，即函数 的零点 ，故 ．
例3.已知函数 有三个零点，则实数 a的取值范围是 .
【答案】 【解析】 函数 有三个零点，
且 在 上有 2个两点
解得
举一反三：
3
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