4.5.1 函数与方程 学生版

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函数与方程
【要点梳理】
要点一：函数的零点
1.函数的零点
（1）一般地，如果函数 在实数 处的值等于零，即 ，则 叫做这个函数的零点.
要点诠释：
①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
②函数的零点也就是函数 的图象与 轴交点的横坐标；
③函数 的零点就是方程 的实数根．
归纳：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．
（2）二次函数的零点
二次函数 的零点个数，方程 的实根个数见下表.
判别式 方程的根 函数的零点
两个不相等的实根 两个零点
两个相等的实根 一个二重零点
无实根 无零点
（3）二次函数零点的性质
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.
2．函数零点的判定
（1）利用函数零点存在性的判定定理
1
如果函数 在一个区间 上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即
，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点 ，使
，这个 也就是方程 的根.
（2）利用方程求解法
求函数的零点时，先考虑解方程 ，方程 无实根则函数无零点，方程
有实根则函数有零点．
（3）利用数形结合法
函数 的零点就是方程 的实数根，也就是函数 的图象与
的图象交点的横坐标．
要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系
（1）设 x1、x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则 x1、x2的分布范围与一元二次方
程的系数之间的关系是：
①当 x1＜x2＜k时，有 ； ②当 k＜x1＜x2时，有 ；
③当 x1＜k＜x2时， ； ④当 x1，x2∈（k1，k2）时，有 ；
⑤当 x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有 ．
2
要点诠释：
讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符
号；③对称轴与区间的相对位置．当 k=0 时，也就是一元二次方程根的零分布．
（2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根 ，
有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧．
设一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为 x1，x2，且 x1≤x2．
① ； ② ；
③ ；
④x1=0，x2＞0 c=0，且 ；x1＜0，x2=0 c=0，且 ．
要点三：二分法
1.二分法
所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，
进而得到零点近似值的方法.
2.用二分法求函数零点的一般步骤：
函数 定义在区间 D上，求它在 D上的一个零点 x0的近似值 x，使它满足给定的精确度.
第一步：在 D内取一个闭区间 ，使 与 异号，即 ，零
点位于区间 中.
3
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