4.5.1 函数的零点与方程的解-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册导学案

3.0 envi 2025-04-15 12 4 940.5KB 11 页 3知币
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§4．5．1 函数的零点与方程的解
导学目标：
1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的
零点与方程根的联系；
2．掌握零点存在的判定定理．
（预习教材 P142~ P144，回答下列问题）
复习 1：如何求一元二次方程 的实数解呢？
由 可得：
当 0，方程有两根，为 ；
当 0，方程有一根，为 ；
当 0，方程无实根．
复习 2：一元二次方程 的根
与一元二次函数 的图象之间有什么关系？
判别式 一元二次方程的解 一元二次函数图象与 轴的交点的横坐标
通过上面表格，你有什么发现： ．
【知识点一】函数的零点与方程的解
（1）对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的 ．
这样，函数 的零点就是方程 的实数解，也就是函数 的图像与
轴的交点的横坐标．
　
（2）函数零点的求法：
代数法：若方程 可解，其实数根就是函数 的零点．
1
几何法：若方程 难以直接求解，将其改 ，
进一步改为 ，在同一坐标系中分别画出两个函数 和
的图像，两图像交点的横坐标就是函数 的零点．
自我检测 1-1：函数 的图象与 轴的交点坐标及其零点分别是 ．
自我检测 1-2：函数 存在零点吗？若有，你能求出零点吗？
【知识点二】函数零点的存在性定理　
如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，
那么，函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 c也
就是方程 的根．
理解函数零点存在定理需要注意的问题
（1） ① 函数 在区间 上的图像是一条连续不断的曲线；
② ，这两个条件缺一不可，否则结论未必成立．
（2）满足上述条件，则函数 的图像至少穿过 轴一次，即在区间 上
函数 至少有一个零点，但是不确定到底有几个．
（3）该定理是一个充分不必要条件．反过来，若函数 在区间 上有零点，
则不一定有 成立．
自我检测 2-1：函数 在区间 上的图像是一条连续不断的曲线，
在 上存在唯一零点
自我检测 2-2：函数 ，你能求出该函数零点的大致范围吗？
【知识点三】常见函数的零点分布情况
2
题型一　函数零点的概念及求法
【例 1-1】下列图象表示的函数中没有零点的是(　　)
【例 1-2】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
①；
②；
③．
题型二 确定函数零点的个数
【例 2】判断下列函数零点的个数
（1） （2）
（3） （4）
3
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