4.2.1 指数函数的概念-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册导学案

3.0 envi 2025-04-15 25 4 720KB 13 页 3知币

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§4.2.1 指数函数的概念

导学目标：

通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．

（预习教材 P111~ P115，回答下列问题）

情景问题 1：传说古印度的宰相西萨发明了国际象棋，国王很喜欢这个游戏，决定奖赏

他，表示可以满足他任何一个要求。宰相微笑着说出了他的要

求：

在他的棋盘上摆满麦粒，第 1格放 1粒，第 2格放 2粒，第 3

格放 4粒……每一小格的麦粒数量都是前一格的 2倍，

直至所有格子都摆满。国王马上派人搬来麦粒开始摆放，

但很快他发现这个要求根本不可能满足，因为所有麦粒的总和

是个天文数字。

那么到底需要多少粒小麦呢？

依题意可知：第 1 个格子内的麦粒数：，

第 2 个格子内的麦粒数：，

第 64 个格子内的麦粒数：，

可知：所有的麦粒的总和为，通过计算器可得，

这是一个 20 位数，一个天文数字。这个数字的小麦折算成重量，约为 2587 亿吨。即使

现在，全世界小麦年产量也达不到这个数字。有人说，用 80 立方米的仓库存放这些小

麦，把这些仓库连接起来，可以从地球一直延伸到太阳．

情景问题 2：把一根米长的绳子从中间剪去一半，再把剩余的绳子从中间剪去一半，

，如此重复下去，请问第次剪去后，还剩多少米？

依题意可知：第 1 次剪去后剩余：，

第 2 次剪去后剩余：，

第 100 次剪去后剩余：．

思考：观察上面所得数据结构，我们能用函数来表示上面的问题吗？

（1）问题一可用来表示；

（2）问题二可用来表示．

【知识点一】指数函数的定义　

函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是 .

自我检测 1：为何规定且?

【知识点二】指数函数解析式（且）的结构特征　

指数函数解析式的 3个特征：

① 底数为大于 0且不等于的常数．

② 自变量的位置在指数上，且的系数是．

③ 的系数是．

自我检测 2：下列各函数中，是指数函数的是(　　)

A． B．

C． D．

【知识点三】指数函数（且）的定义域与值域

指数函数（且）的定义域为；值域为．

自我检测 3：函数的定义域为；值域为．

题型一　指数函数的定义

【例 1-1】下列函数中指数函数的个数是：

　（1）（2）（3）（4）（5）

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