4.2 指数函数及其性质 教师版

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指数函数及性质
要点一、指数函数的概念：
函数 y=ax(a>0 且a≠1)叫做指数函数，其中 x是自变量，a为常数，函数定义域为 R.
要点诠释：
（1）形式上的严格性：只有形如 y=ax(a>0 且a≠1)的函数才是指数函数．像 ， ，
等函数都不是指数函数．
（2）为什么规定底数 a大于零且不等于 1：
①如果 ，则
②如果 ，则对于一些函数，如 ，当 时，在函数值不存在．
③如果 ，则 是个常量，就没研究的必要了．
要点二、指数函数的图象及性质：
y=ax
0<a<1 时图象 a>1 时图象
图象
①定义域 R，值域（0，+∞）
②a0=1, 即x=0 时，y=1，图象都经过(0，1)点
1
性质 ③ax=a，即 x=1 时，y等于底数 a
④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数
⑤x<0 时，ax>1
x>0 时，0<ax<1
⑤x<0 时，0<ax<1
x>0 时，ax>1
⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数
要点诠释：
（1）指数函数 与 的图象关于 轴对称．
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律（令 比较）
4.（1）指数函数的底数满足： ，
的图像如图所示：
（2）特殊函数 的图像：
【典型例题】
类型一、函数的定义域、值域
例1．求下列函数的定义域、值域.
2
(1) ； (2)y=4x-2x+1； (3) ； (4) (a 为大于 1的常数)
【解析】(1)函数的定义域为 R (∵对一切 x R，3x≠-1).
∵ ，又 ∵3x>0， 1+3x>1，
∴ ， ∴ ，
∴ ， ∴值域为(0，1).
(2)定义域为 R， ， ∵2x>0， ∴
即 x=-1 时，y取最小值 ，同时 y可以取一切大于 的实数， ∴ 值域为[ ).
(3)要使函数有意义可得到不等式 ，即 ，又函数 是增函数，
所以 ，即 ，即 ，值域是 .
(4) ∵ ∴定义域为(-∞，-1) [1∪，+∞)，
又 ∵ ，∴ ，∴值域为[1，a) (a∪，+∞)
举一反三：
【变式 1】求下列函数的定义域：
(1) (2) (3) (4)
3
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