3.3-3.4 幂函数及其应用 教师版

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幂函数及图象变换
【要点梳理】
要点一、幂函数概念
形如 的函数，叫做幂函数，其中 为常数.
要点诠释：
幂函数必须是形如
( )y x R
 
的函数，幂函数底数为单一的自变量 x，系数为 1，指数为常数.
例如： 等都不是幂函数.
要点二、幂函数的图象及性质
1.作出下列函数的图象：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．
要点诠释：
幂函数随着 的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；
(2) 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数．特别地，当 时，幂
函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；
(3) 时，幂函数的图象在区间 上是减函数．在第一象限内，当 从右边趋向原点时，
1
图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半
轴．
2.作幂函数图象的步骤如下:
(1)先作出第一象限内的图象；
(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；
若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性
如果为偶函数，则根据 y轴对称作出第二象限的图象；
如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.
3.幂函数解析式的确定
(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．
(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．
(3)如函数 是幂函数，求 的表达式，就应由定义知必有 ，即 ．
4.幂函数值大小的比较
(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与 0和1进行比较．
常称为“搭桥”法．
(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．
(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．
要点三、初等函数图象变换
基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指
数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲）
由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．
如： 的图象变换，
2
（1）平移变换
y=f(x)→y=f(x＋a) 图象左（ ）、右（ ）平移
y=f(x)→y=f(x)＋b 图象上（ ）、下（ ）平移
（2）对称变换
y=f(x) →y=f(－x), 图象关于 y轴对称
y=f(x) →y=－f(x) , 图象关于 x轴对称
y=f(x) →y=－f(－x) 图象关于原点对称
y=f(x)→ 图象关于直线 y=x对称
（3）翻折变换：
y=f(x) →y=f(|x|),把y轴右边的图象保留，然后将 y轴左边部分
关于 y轴对称．（注意：它是一个偶函数）
y=f(x) →y=|f(x)| 把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象
关于 x轴对称
要点诠释：
（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。
（2）若 f(a－x)＝f(a＋x)，则函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a对称。
【典型例题】
类型一、求函数解析式
例1.已知幂函数 （k∈N*）的图象关于 y轴对称，且在区间（0，+∞）上是减函数，
求函数 f（x）的解析式．
【解析】幂函数 （k∈N*）的图象关于 y轴对称，
3
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