3.3.3 直线与抛物线的位置关系教师版

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直线与抛物线的位置关系

类型一：抛物线的方程与性质

例1．若抛物线通过直线与圆 x2＋y2＋6x＝0的两个交点，且以坐标轴为对称轴，求该抛物线的

方程．

【解析】由得，或，

根据题意可设抛物线的方程为 x2＝－2my(m>0)或y2＝－2px(p>0)，

则在抛物线上，∴m＝，p＝，

∴方程为或

【变式 2】顶点在原点，经过圆 C: 的圆心且准线与 x轴垂直的

抛物线方程为（）

A. B. C. D.

【答案】B【解析】因为圆 C：的圆心是

抛物线的顶点在原点，焦点在 x轴上，且经过点，

设标准方程为，因为点在抛物线上，所以，

所以 p=1，所以所求抛物线方程为：

类型二：直线与抛物线的位置关系

例2．过定点 P(0,2)作直线 l，使 l与抛物线 y2＝4x有且只有一个公共点，这样的直线 l共有________条．

【答案】3

【解析】如图，过点 P与抛物线 y2＝4x仅有一个公共点的直线有三条：

二条切线、一条与 x轴平行的直线．

举一反三：

【变式】已知 F是抛物线 y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段 AB 的中点

到y轴的距离为________．

【答案】∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，∴xA＋xB＝，∴线段 AB 的中点到 y轴的距离为

类型三：抛物线的弦

例3.若直线 l：y＝kx－2交抛物线 y2＝8x于A、B两点，且 AB 的中点为 M(2，y0)，求 y0及弦 AB 的长．

【解析】把 y＝kx－2代入 y2＝8x，得 k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

∵AB 中点 M(2，y0)，

∴x1＋x2＝4，即＝4，

解得 k＝2或k＝－1.

又Δ＝16k2＋64k＋64－16k2>0，

∴k>－1，，∴k＝2，

此时直线方程为 y＝2x－2，

∵M(2，y0)在直线上，

∴y0＝2，|AB|＝|x2－x1|＝·＝2.

类型四：抛物线的综合问题

例4．过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F的直线与抛物线相交于 P(x1，y1)、Q(x2，y2)两点，

求证：（1）；（2）为定值。

证明：由抛物线的方程可得焦点的坐标为

（1）当直线 PQ 斜率存在时，过焦点的直线方程可设为，

由，消去 x得：ky2―2py―kp2=0 （※）

当k=0 时，方程（※）只有一解，∴k≠0，由韦达定理得：y1·y2=－p2

当直线 PQ 斜率不存在时，得两交点坐标为，，∴y1·y2=―p2

综上两种情况：总有 y1y2=―p2

（2）由得，∴ ，

∴

为定值

举一反三：

【变式】抛物线 y2=2px （p＞0）的焦点为 F，已知点 A，B为抛物线上的两个动点，且满足

∠AFB=120°，过弦 AB 的中点 M作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则的最大值为（）

A． B．1 C． D．2

【答案】选 A，设|AF|=a，|BF|=b，连接 AF、BF 由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，

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