3.2.3 直线与双曲线的位置关系 教师版

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直线与双曲线的位置关系
要点一、直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系
将直线的方程 与双曲线的方程 联立成方程组，消元转化为关
于x或y的一元二次方程，其判别式为 Δ.
若 即 ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若 即 ，
①Δ＞0直线和双曲线相交 直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和双曲线相切 直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和双曲线相离 直线和双曲线相离，无公共点．
直线与双曲线的相交弦
设直线 交双曲线 于点 两点，则
= =
同理可得
1
这里 的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
双曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在双曲线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率 ；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转
化
【典型例题】
类型一：双曲线的方程与性质
例1.设F1、F2是双曲线 (a>0，b>0)的两个焦点，点 P在双曲线上，若 ，且
，其中 ，求双曲线的离心率．
【解析】由双曲线定义知，||PF1|－|PF2||＝2a，
∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2，
又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，∴|PF1|·|PF2|＝2b2，
又 ，∴2ac＝2b2，
∴b2＝c2－a2＝ac，∴e2－e－1＝0，∴e＝ ，
即双曲线的离心率为 .
2
举一反三：
【变式 1】已知点 和 的横坐标相同， 的纵坐标是 的纵坐标的 2倍， 和 的轨迹分别为双曲
线 和 ，若 的渐近线方程为 ，则 的渐近线方程 .
【答案】
【解析】设点 和 的坐标为 、 ，则有
又因为 的渐近线方程为 ，故设 的方程为 ，
把 点 坐 标 代 入 ， 可 得 ， 令 ， 即 为 曲 线 的 渐 近 线 方 程 ， 即
【变式 2】设双曲线焦点在 x轴上，两条渐近线为 y＝±x，则该双曲线的离心率为(　　)
A．5 B. C. D.
【答案】C
类型二：直线与双曲线的位置关系
例2．已知双曲线 x2
－
y2=4，直线 l：y=k(x
－
1)，讨论直线与双曲线公共点个数.
3
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