3.2.2 双曲线的简单几何性质 教师版

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双曲线的性质
要点一、双曲线的简单几何性质
1.双曲线的定义：
平面内到两个定点 ,的距离之差的绝对值是常数 2a(2a< )的点的轨迹叫双曲线.
双曲线
标准方程（焦点在 轴） 标准方程（焦点在 轴）
定义
第一定义：平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值是常数（小于 ）的
点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
第二定义：平面内与一个定点 和一条定直线 的距离的比是常数 ，当 时，
动点的轨迹是双曲线。定点 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数
（ ）叫做双曲线的离心率。
范围 ， ，
对称轴 轴 ， 轴；实轴长为 ,虚轴长为
对称中心 原点
焦点坐标
1
焦点在实轴上， ；焦距：
顶点坐标 （,0） ( ,0) (0, ,) (0，)
离心率
准线方程
准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：
顶点到准
线的距离
顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为
顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为
焦点到准
线的距离
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
渐近线
方程
共渐近线
的双曲线
系方程
（ ） （ ）
2.弦长公式
1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于 A（x1,y1）B（x2,y2）两点，则
2
k 为直线斜率
2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于 A、B两点，则弦长 .
3、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解
3.等轴双曲线
（a＞0，b＞0）当 时称双曲线为等轴双曲线
1. ； 2.离心率 ； 3.两渐近线互相垂直，分别为 y= ；
4.等轴双曲线的方程 ， ；
4.直线与双曲线的位置关系
代数法：设直线 ，双曲线 联立解得：
（1） 时， ，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
， ，或 k不存在时，直线与双曲线没有交点；
（2） 时，
存在时，若 ， ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若 ，
3
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