3.2.2 奇偶性 学生版

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函数的奇偶性
【要点梳理】
要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤
1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么 f(x)称为偶函数.
奇函数：若对于定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=-f(x)，那么 f(x)称为奇函数.
要点诠释：
（1）奇偶性是整体性质；
（2）x在定义域中，那么-x 在定义域中吗？
----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
（3）f(-x)=f(x)的等价形式为： ，
f(-x)=-f(x)的等价形式为： ；
（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有 f(0)=0；
（5）若 f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有 f(x)=0.
2.奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，
如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于 轴对
称，则这个函数是偶函数.
（3）注意到偶函数 的性质： ，可避免讨论．
1
3.用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数
既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数 的定义域，化简函数 的解析式；
（3）求 ，可根据 与 之间的关系，判断函数 的奇偶性.
若=- ，则 是奇函数；若 =，则 是偶函数；
要点二、判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函
数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 与 之一是否相等.
（2）验证法：在判断 与 的关系时，只需验证 =0 及 是否成
立即可.
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（ 轴）对称.
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函
数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
（5）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判
断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断 与 的关系.首先要特别注意
与 的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中， 与 对应不同的表达式，而它们的
2
结果按奇偶函数的定义进行比较.
【典型例题】
类型一、判断函数的奇偶性
例1. 判断下列函数的奇偶性：
(1) ； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ； (3)f(x)=|x+3|-|x-3|；
(4) ； (5) ； (6)
3
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