3.2.1 双曲线及其标准方程 教师版

3.0 envi 2025-04-15 17 4 796.48KB 15 页 3知币
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双曲线的方程
【要点梳理】
要点一、双曲线的定义
在平面内，到两个定点 、 的距离之差的绝对值等于常数 （ 大于 0且 ）的动
点 的轨迹叫作双曲线.这两个定点 、 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
要点诠释：
1. 若去掉定义中的“绝对值”，常数 满足约束条件： （ ），则动点轨
迹仅表示双曲线中靠焦点 的一支；若 （ ），则动点轨迹仅表示双曲
线中靠焦点 的一支；
2. 若常数 满足约束条件： ，则动点轨迹是以 F1、F2为端点的两条射线（包
括端点）；
3. 若常数 满足约束条件： ，则动点轨迹不存在；
4. 若常数 ，则动点轨迹为线段 F1F2的垂直平分线。
要点二、双曲线的标准方程
双曲线的标准方程：
1.当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程： ，其中 ；
2.当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程： ，其中
1
方程 Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件
方程 Ax2+By2=C 可化为 ，即 ，
所以只有 A、B异号，方程表示双曲线。
当 时，双曲线的焦点在 x轴上；
当 时，双曲线的焦点在 y轴上。
椭圆、双曲线的区别和联系：
椭圆 双曲线
根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a
a＞c＞0，a2－c2=b2（b＞0）0＜a＜c，c2－a2=b2（b＞0）
，
（a＞b＞0）
，
（a＞0，b＞0，a不一定大于 b）
（a最大） （c最大）
标准方程统一为：
2
要点三、求双曲线的标准方程
①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确
定方程中的参数 、 、 的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
【典型例题】
类型一：双曲线的定义
例1.若一个动点 P(x，y)到两个定点 A(－1，0)、A′(1，0)的距离差的绝对值为定值 a，求点 P的轨迹方
程，并说明轨迹的形状．
【解析】∵｜AA′｜＝2，
∴(1)当a＝2时，轨迹方程是 y＝0(x≥1 或x≤－1)，轨迹是两条射线．
(2)当a＝0时，轨迹是线段 AA′的垂直平分线 x＝0．
(3)当0＜a＜2时，轨迹方程是 ＝1，轨迹是双曲线．
举一反三：
【变式 1】已知点 F1(－4,0)和F2(4,0)，曲线上的动点 P到F1、F2距离之差为 6，则曲线方程为(　　)
A. B. (y>0)
C. 或 D. (x>0)
【答案】　D
3
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