3.1.2 椭圆的简单几何性质 教师版

3.0 envi 2025-04-15 20 4 1.27MB 19 页 3知币
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椭圆的性质
要点一、椭圆两个标准方程几何性质的比较
椭圆 与 的区别和联系：
标准方程
图形
性质 焦点 ， ，
焦距
范围 ， ，
对称性 关于 轴、 轴和原点对称
顶点 ， ，
轴长 长轴长=，短轴长=
离心率
准线方程 左 右
1
焦半径 ，
，
要点诠释：椭圆 ， （a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关
系都有 a＞b＞0和 ，a2=b2+c2；椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点
位置的方法是：看 x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
要点二、椭圆的简单几何性质
椭圆的离心率
离心率：椭圆焦距与长轴长之比： . （ ）
当 越接近 1时，c越接近 a，椭圆越扁；
当 越接近 0时，c越接近 0，椭圆越接近圆；
当且仅当 a=b 时，图形为圆，方程为
如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线 L交OA 于B，P、Q在椭圆上，PD L⊥于
D，QF AD⊥于F，设椭圆的离心率为 e，则① e=；② e=；③ e=；
④e=； ⑤e=
评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④
∵｜AO｜=a，｜OF｜=c，∴有⑤；
∵｜AO｜=a，｜BO｜= ， ∴有③
2
要点诠释：
1.椭圆焦半径：
椭圆焦点在 x轴上的焦半径：（左焦半径） ，（右焦半径） ， 是离心率
焦点在 y轴上的椭圆的焦半径公式：
（ 其中 分别是椭圆的下上焦
点）
2.与椭圆 共焦点的椭圆方程可设为：
3.有相同离心率： （ ，焦点在 x轴上）或 （ ，焦点在 x轴上）
4.椭圆 的图象中线段的几何特征（如下图）：
（1） ， ， ；
（2） ， ， ；
3
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