3.1.1 椭圆及其标准方程 学生版

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椭圆的方程
要点一、椭圆的定义
1.椭圆的定义：平面内一个动点 到两个定点 、 的距离之和等于常数
，
这个动点 的轨迹叫椭圆. 这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
若 ， 的轨迹为线段 ；若 ， 的轨迹无
图形
第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 的动点 M的轨迹叫椭圆
椭圆的范围
椭圆上所有的点都位于直线 x=±a 和y=±b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.
椭圆的对称性
椭圆 是以 x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，
这个对称中心称为椭圆的中心。
椭圆的顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
② 椭 圆 （ a＞b＞0） 与 坐 标 轴 的 四 个 交 点 即 为 椭 圆 的 四 个 顶 点 ， 坐 标 分 别 为
A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。
③线段 A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴
长和短半轴长。
1
要点二、椭圆的标准方程
椭圆的标准方程：
1.当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中 ；
2.当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中 ；
要点诠释：
1.椭圆上一点到焦点的最小距离为：a-c，最大距离为：a+c；
2.椭圆的焦点总在长轴上，当焦点在 轴上时，椭圆的焦点坐标为 ， ；当焦点在 轴上时，
椭圆的焦点坐标为 ， ；
3. 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.
要点三、求椭圆的标准方程
求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：
（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中
的参数 a,b，即：“先定型，再定量”.② 由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设
其方程的一般式： .
（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再
定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.
【典型例题】
类型一：椭圆的定义
例1. 若一个动点 P（x，y）到两个定点 A（－1，0）、A＇（1，0）的距离的和为定值 m（m>0），试
2
求P点的轨迹方程。
举一反三：
【变式 1】设椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 B。若|BF2|=|F1F2|=2，
则该椭圆的方程是（ ）
A. B. C. D.
【变式 2】已知 B（-2,0），C（2,0），A为动点， 的周长为 10，则动点 A的满足的方程为（
）
A. B. C. D.
【变式 3】设动圆 与圆 外切，与 内切，求动圆圆心 的
轨迹方程.
3
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