3.1 函数及其表示 学生版

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函数及其表示
【要点梳理】
要点一、函数的概念
1．函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A中的任意一个数 x，在集
合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f:A→B 为从集合 A到集合 B的一个函数.
记作：y=f(x)，x A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围 A叫做函数的定义域；与 x的值相对应的 y值叫做函数值，函
数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域.
要点诠释：
（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；
（4）B中元素的可剩余性。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，
如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
3．区间的概念
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
(2)无穷区间；
(3)区间的数轴表示．
区间表示：
{x|a≤x≤b}=[a，b]；
1
； ；
.
要点二、函数的表示法
1．函数的三种表示方法：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值.
2．分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来 ，
并分别注明各部分的自变量的取值情况．
要点三、映射与函数
1.映射定义：
设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则 f，对于集合 A中的任何一个元素，在集合 B中
都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从 A到B的映射；记为 f：A→B.
象与原象：如果给定一个从集合 A到集合 B的映射，那么 A中的元素 a对应的 B中的元素 b叫做 a
的象，a叫做 b的原象.
要点诠释：
(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一；
(2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；
(3)a 的象记为 f(a).
2.函数与映射的区别与联系：
设A、B是两个非空数集，若 f：A→B 是从集合 A到集合 B的映射，这个映射叫做从集合 A到集
2
合B的函数，记为 y=f(x).
要点诠释：
(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；
(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；
(3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；
(4)原象集合=定义域，值域=象集合.
(5)如果 A有m个元素，B有n个元素，则从集合 A中到集合 B的映射（不加限制）有 个。
3.函数定义域的求法
(1)确定函数定义域的原则
定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根
号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限
制条件.
（2）抽象函数定义域的确定
注意
1 ：不管括号中的形式多复杂，定义域只是自变量 的取值集合。
注意
2 ：在同一函数 作用下，括号内整体的取值范围相同。
4.函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完
全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的 “最高
点”和“最低点”，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二
次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函
3
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