2.6 直线与圆的方程的应用教师版

3.0 envi 2025-04-15 13 4 431.07KB 11 页 3知币

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直线与圆的方程的应用

类型一：直线与圆的方程在平面几何中的应用

例1．AB 为圆的定直径，CD 为直径，自 D作AB 的垂线 DE，延长 ED 到P，使|PD|=|AB|，求证：直

线CP 必过一定点．

证明：以线段 AB 所在的直线为 x轴，以 AB 中点为原点，建立直角坐标系，

如下图．设圆的方程为 x2+y2=r2，直径 AB 位于 x轴上，动直径为 CD．

令C（x0，y0），则 D（―x0，―y0），

∴P（―x0，―y0―2r）．

∴直线 CP 的方程为．

即 (y0+r)x―(y+r)x0=0．

∴直线 CP 过直线：x=0，y+r=0 的交点（0，―r），即直线 CP 过定点（0，―r）．

举一反三：

【变式 1】如图，在圆 O上任取 C点为圆心，作一圆与圆 O的直径 AB 相切于 D，圆 C与圆 D交于

E、F，求证：EF 平分 CD．

证明：令圆 O方程为 x2+y2=1． ①

EF 与CD 相交于 H，令 C（x1，y1），则可得圆 C的方程

(x－x1)+(y－y1)2=y12，即 x2+y2－2x1x－2y1y+x12=0． ②

①－②得 2x1x+2y1y－1－x12=0． ③

③式就是直线 EF 的方程，设 CD 的中点为 H＇，其坐标为，

将H＇代入③式，得．

即H＇在 EF 上，∴EF 平分 CD．

类型二：直线与圆的方程在代数中的应用

例2．已知实数 x、y满足 x2+y2+4x+3=0，求的最大值与最小值．

【解析】（1）如图所示，设 M（x，y），则点 M在圆 O：(x+2)2+y2=1 上．

令Q（1，2），则设，即 kx―y―k+2=0．

过Q作圆 O1的两条切线 QA、QB，则直线 QM 夹在两切线 QA、QB 之间，

∴kAQ≤kQM≤kQB．

又由 O1到直线 kx―y―k+2=0 的距离为 1，得：

，即．

∴ 的最大值为，最小值为．

举一反三：

【变式 1】已知点 A（―3，0），B（0，3），若点 P在圆上运动，则△PAB 面积的最

小值为________．

【答案】

【解析】圆的标准方程为，圆心 C（1，0），半径 r=1，

当过 P的直线和 AB 平行时，△PAB 的面积最小，

∵A（－3，0），B（0，3），∴AB 的方程为，即 x－y+3=0，

此时圆心 C到直线 AB 的距离，

则△PAB 的边长，

AB 边上的高，

则△PAB 面积，

故答案为：

【变式 2】设函数和，已知当 x [∈－4，0]时，恒有，

求实数 a的取值范围．

【解析】因为，所以，

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