2.3.2 二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册导学案

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§2．3．2 二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时）

导学目标：

1．掌握含参数的一元二次不等式的解法，渗透分类谈论的思想．

2．通过一元二次不等式的求解过程，了解分式不等式、高次不等式的解法，渗透类比

转化的思想．

3．会利用一元二次不等式求解实际问题，体会数学抽象、数学建模的学科素养．

（预习教材 P50~ P54，回答下列问题）

复习：完成下列“三个二次”之间关系的表格

情景：类比一元二次不等式的解法，

我们如何得到的解集呢？谈谈你的想法？

【知识点一】含参数的一元二次不等式的解法

形如，除了主元变量以外，还含有其他的变量（参变

量）的不等式，我们称为含参数的一元二次不等式．

规律方法：在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做

到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：

（1）关于不等式类型的讨论：二次项的系数 a>0，a=0，a<0；

（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根( >0)，一根( =0)，无根( <0)；

在有根的前提下，恰当的使用十字相乘可有效简化运算．

（3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：．

自我检测 1：如何得到含参数的一元二次不等式的解集？

【知识点二】分式不等式

形如（其中是常数）的不等式，称为分式不等式．

规律方法：分式不等式向整式不等式转化时一定要注意等价转化，即分母为时的取舍．

自我检测 2：求分式不等式的解集．

【知识点三】高次不等式

不等式的最高次项的次数高于 2的不等式称为高次不等式，形如、

等．

规律方法：（穿针引线）

①将不等式化为标准形式，一端为 0，另一端为一次因式(因式中 x的系数为正)；

②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；

③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重

根穿而不过(奇过偶不过)；

④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集（注意端点的取舍）．

自我检测 3：求高次不等式、等．

的解集．

题型一　含参数的一元二次不等式的解法

【例 1】解关于 x的不等式．

题型二　分式不等式、高次不等式的解法

【例 2】解下列不等式：

(1) ； (2) ．

题型三　一元二次不等式的实际应用

【例 3】国家原计划以 2 400 元/吨的价格收购某种农产品 m吨．按规定，农户向国家纳

税为：每收入 100 元纳税 8元(称作税率为 8个百分点，即 8%)．为了减轻农民负担，制

定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低 x个百分点，收购量能增加 2x个百分点．

试确定 x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的 78%．

1．设，则“ ”是“ ”的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

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