2.3.1~2.3.4 直线的交点坐标与距离公式 教师版人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义

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直线的交点坐标与距离公式
要点一、直线的交点
求两直线 与 的交点坐标，只需
求两直线方程联立所得方程组 的解即可.若有 ，则方程组有无穷
多个解，此时两直线重合；若有 ，则方程组无解，此时两直线平行；若有 ，
则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.
要点二、过两条直线交点的直线系方程
过两直线的交点的直线系方程：经过两直线 ， 交点的
直线方程为 ，其中 是待定系数．在这个方程中，无论 取什
么实数，都得不到 ，因此它不能表示直线 ．
要点三、距离公式
两点 间的距离公式为： .
要点四、点到直线的距离公式
点 到直线 的距离为： .
1
要点五、两平行线间的距离
两平行线间的距离为： .
【典型例题】
类型一、判断两直线的位置关系
例1．是否存在实数 a，使三条直线 ， ， 能围成一个
三角形？请说明理由．
【解析】 要使三条直线能围成一个三角形，则它们中任意两条都不平行，且三条直线不相交于同一点．
（1）当 时， ，即 a=±1．
（2）当 时，―a=―1，即 a=1．
（3）当 时， ，即 a=1．
（4）当 与 、 相交于同一点时，由 得交点（―1―a，1），将其代入 ax+y+1=0 中，
得a=―2 或a=1．
故当 a≠1 且a≠－1且a≠―2 时，这三条直线能围成一个三角形．
2
举一反三：
【变式 1】直线 5x+4y―2m―1=0 与直线 2x+3y―m=0 的交点在第四象限，求 m的取值范围．
【解析】 解得 ，所以 ，解得 ．
类型二、过两条直线交点的直线系方程
例2．求经过两直线 2x―3y―3=0 和x+y+2=0 的交点且与直线 3x+y―1=0 平行的直线方程．
【解析】设所求的直线为 ，由方程组 得 ．
∵直线 和直线 3x+y―1=0 平行，∴直线 的斜率 k=―3．
∴根据点斜式有 ，
即所求直线方程为 15x+5y+16=0．
举一反三：
【变式 1】求证：无论 m取什么实数，直线(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0 都经过一个定点，并求出这
个定点的坐标．
证法一：对于方程(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0，令 m=0，得 x―3y―11=0；令 m=1，得 x+4y+10=0．
3
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